Beweisen das Extrempunkt nicht von Parameter a abhängt

Question

Aufgabe:

Durch die Funktionenschar \( f_{a} \) mit \( f_{a}(t)=20 a \cdot t \cdot e^{-0,5 t} \) wird für \( t \in[0 ; 12] \) und \( a>0 \) die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten beschrieben ( \( t \) in Stunden seit der Einnahme und \( f(t) \) in \( \mathrm{mg} / \mathrm{l} \). Der Parameter a hängt von der Höhe der Wirkstoffdosis ab.

a) Zeigen Sie, dass der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration des Medikaments am größten ist, nicht vom Parameter a abhängt und berechnen Sie diesen Zeitpunkt. Berechnen Sie, für welchen Wert von a die maximale Konzentration im Blut \( 20 \mathrm{mg} / \mathrm{l} \) beträgt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der Hochpunkt bei x=2 liegt. Aber wie kann ich beweisen, dass der der Parameter a nicht den Extrumpunkt beeinflusst. Ich habe ein paar Zahlen für a eingesetzt aber damit beweisese ich das ja nicht für alle Zahlen. Gibt es da eine einfache Lösung?

Comments

Das ist einfach nicht richtig.

Answer 1

Wenn die Extremstelle bei \(x=2\) liegt, hängt sie ja offensichtlich nicht von \(a\) ab, sonst würde dort ja auch \(a\) vorkommen, tut es aber nicht. Damit hängt zumindest die lokale Extremstelle nicht von \(a\) ab.

Da die Funktion hier auf einem vorgegebenen Intervall betrachtet wird, solltest du noch eine Randwertbetrachtung vornehmen. Die Randwerte hängen allerdings auch nicht vom Parameter ab.

dass der der Parameter a nicht den Extrumpunkt beeinflusst.

Darum geht es nicht. Beachte den Unterschied Extremstelle und Extrempunkt.

Comments

Wenn die Extremstelle bei \(x=2\) liegt, hängt sie ja offensichtlich nicht von \(a\) ab, sonst würde dort ja auch \(a\) vorkommen, tut es aber nicht. Damit hat man bereits alles gezeigt.

Hat man nicht!

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Habe die Randwertbetrachtung ergänzt. Ich denke, dass du darauf anspielen wolltest.

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Habe die Randwertbetrachtung ergänzt. Ich denke, dass du darauf anspielen wolltest.

Nein, das wollte ich nicht.

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Dann darfst du das Problem gerne erläutern.

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Der Extrempunkt hat zwei Koordinaten, die vom Parameter a abhängen können.

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Dann hast du die Aufgabe nicht richtig gelesen, denn es geht nur um die Extremstelle und deswegen steht in meiner Antwort auch Extremstelle und nicht Extrempunkt. Insofern ist dein Einwand also unberechtigt.

Dass der FS hier fälschlicherweise von Extrempunkt statt Extremstelle gesprochen hat, habe ich ja bereits in meiner Antwort vermerkt.

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Okay, ich habe mich auf die Aussage des Fragers konzentriert und deine mehrfach geänderte Antwort nicht mehr nachvollzogen. Die Aufgabenstellung selbst enthält bereits die Information, dass die zweite Koordinate von a abhängig ist. Insgesamt hast du also recht!

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Gibt es dafür eigentlich eine mathematische Schreibweise oder reicht die Begründung von der Anzwort? Ich habe leider keine Lösungen zu der Aufgabe:/

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Die Begründung reicht vollkommen.

Du hast den Zeitpunkt der größten Konzentration als t=2 berechnet  und dieser Zeitpunkt ist unabhängig von a.

(Das an der Stelle t=2 tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt, zeigt man mittels Vorzeichenwechsel der Ableitung oder die 2. Ableitung).

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Es braucht nicht für alles eine mathematische Schreibweise. In mathematischen Beweisen findet man durchaus mehr "Prosa" als man sich vorstellen kann, denn auch in der Mathematik kann man mit den üblichen Bausteinen der Sprache argumentieren. Mathematische Rechnungen stützen diese Argumente nur zusätzlich.

Answer 2

Der Faktor a > 0 streckt/staucht die Funktion in y-Richtung und beeinflusst damit nicht die Lage von Extremstellen auch nicht der Ränder.

D.h. hat die Funktion an einer Stelle x einen Hochpunkt so hat sie diesen Hochpunkt für jeden beliebigen Wert von a.

fa(t) = 20·a·t·e^(- 0.5·t)

fa'(t) = a·e^(- 0.5·t)·(20 - 10·t) = 0 --> t = 2 h (VZW von + zu - und damit der einzige Hochpunkt)

fa(2) = 40·a/e = 20 --> a = e/2