Wendepunkt und Extrempunkt verstehe ich nicht Hilfe :(

Question

Halo ihr lieben,
ich sitze seit gefühlte 2 Stunden an der Aufgabe und verstehe sie immer noch nicht. Würde mich freuen wenn jemand sich die Zeit nimmt und sie mir einmal erklärt.
Aufgabe: Bestimmen sie die Funktionsgleichung
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Gerades hat einen Extrempunkt E(-2/0) und einen Wendepunkt W (-1/-2).


Liebe Grüße

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Gerades

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b

hat einen Extrempunkt E(-2/0)

f(-2) = 0
8·a - 4·b + 2·c - d = 0

f'(-2) = 0
12·a - 4·b + c = 0

und einen Wendepunkt W (-1/-2).

f(-1) = -2
a - b + c - d = 2

f''(-1) = 0
6·a - 2·b = 0

Du erhältst also das Gleichungssystem

8·a - 4·b + 2·c - d = 0
12·a - 4·b + c = 0
a - b + c - d = 2
6·a - 2·b = 0

Wenn Du das mit dem Additinsverfahren löst erhältst du: a = 1 ∧ b = 3 ∧ c = 0 ∧ d = -4

Die Funktion lautet daher

f(x) = x^3 + 3·x^2 - 4

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Gerades hat einen Extrempunkt E\((-\red{2}|0)\) und einen Wendepunkt W \((-1|-2)\).

\(f(x)=a[(x+\red{2})^2(x-N)]\)

W \((-1|...)\)

\(f'(x)=a[(2x+4)(x-N)+(x+2)^2]\)

\(f''(x)=a[2x-2N+(2x+4)+2(x+2)]\)

\(f''(-1)=a[-2-2N+(-2+4)+2(-1+2)]\)

\(f''(-1)=a[-2N+2)]=0\)

\(N=\blue{1}\)

\(f(x)=a[(x+2)^2(x-\blue{1})]\)

W \((-1|-2)\):

\(f(-1)=a[(-1+2)^2(-1-1)]=a[(-2)]=-2\)

\(a=1\)

\(f(x)=(x+2)^2(x-1)]\)