Differentialformen, Pullback, äusseres Differential

Question

Hallo liebe Forenhelfer,

ich bin neu auf der Mathelounge und hätte eine wichtige Angelegenheit zu einem Themenbereich der höheren Analysis / Differentialgeometrie:

Es geht um Differentialformen, das Pullback differenzierbarer Abbildungen und das äussere Differential d : Ω^k(X) —> Ω^(k+1)(X), X ⊆ ℝⁿ offen. Das äussere Differential ist linear, erfüllt d² = d•d = 0, die Leibniz-Relation d(α Λ β) = dα Λ β + (-1)^k dβ Λ α für alle k-Formen α,β und für eine 0-Form (also eine glatte Funktion f : U —> ℝ) ist es das bekannte Differential und ist gegeben durch df = Σ ∂f/∂x_i dx_i, also die Richtungsableitung df_x : ℝⁿ —> ℝ.

—> Zur Aufgabe.

Gegeben ist eine Abbildung φ : U —> V der Klasse C∞ zwischen offenen Mengen U ⊆ ℝⁿ und V ⊆ ℝ^m. Das Pullback ist dann die lineare Abbildung bzw. der Vektorraumhomomorphismus φ* : Ω*(V) —> Ω*(U).

Eine k-Form α ∈ Ω^k(V) kann allgemein als die Summe α = Σ f_I dx^I über Miltiindizies I ∈ {1,…,k}^k geschrieben werden.

Dann gilt die Kommutativität des Pullbacks mit dem äusseren Differential, also die zu zeigende Gleichheit d(φ*α) = φ*(dα) für alle k-Formen α. Die Frage ist, wie kann ich diese Gleichheit zeigen? Mir ist bekannt, dass die Relation d(φ*(dx^I)) = 0 für alle Multiindizies I gilt (das habe ich bereits mit Induktion nach der Länge eines Multiindex I erfolgreich gezeigt und kann es entsprechend als Hilfsaussage nutzen).

Meine erste Idee war es das Pullback von α zu bestimmen. Es müsste (wenn ich mich nicht täusche) φ*α = Σ (f_I • φ) φ*(dx^I) sein und das äussere Differential ist definiert als dα = Σ df_I Λ dx^I (Λ steht für das Dachprodukt).

Ich danke im voraus für jede Hilfe und Zeit! :-)

Answer 1

Dein Ansatz ist schon richtig, du musst lediglich die Form \( \alpha \) als die Summe der Basiselemente ausdrücken und verwenden, dass
\(\begin{aligned} \phi ^{*} ( \alpha \land \beta )  = \phi ^{*} \alpha \land \phi ^{*} \beta \end{aligned}\)
und für 1-Formen gilt

\(\begin{aligned} \phi ^{*} ( f \cdot d x ^{ i}) = ( f \circ \phi ) d( x ^{ i} \circ \phi ) \end{aligned}\)
wobei \( f \colon M \to \mathbf{R}  \).