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Hallo liebe Forenhelfer,

ich bin neu auf der Mathelounge und hätte eine wichtige Angelegenheit zu einem Themenbereich der höheren Analysis / Differentialgeometrie:

Es geht um Differentialformen, das Pullback differenzierbarer Abbildungen und das äussere Differential d : Ω^k(X) —> Ω^(k+1)(X), X ⊆ ℝ^n offen. Das äussere Differential ist linear, erfüllt d^2 = d•d = 0, die Leibniz-Relation d(α Λ β) = dα Λ β + (-1)^k dβ Λ α für alle k-Formen α,β und für eine 0-Form (also eine glatte Funktion f : U —> ℝ) ist es das bekannte Differential und ist gegeben durch df = Σ ∂f/∂x_i dx_i, also die Richtungsableitung df_x : ℝ^n —> ℝ.

—> Zur Aufgabe.

Gegeben ist eine Abbildung φ : U —> V der Klasse C∞ zwischen offenen Mengen U ⊆ ℝ^n und V ⊆ ℝ^m. Das Pullback ist dann die lineare Abbildung bzw. der Vektorraumhomomorphismus φ* : Ω*(V) —> Ω*(U).

Eine k-Form α ∈ Ω^k(V) kann allgemein als die Summe α = Σ f_I dx^I über Miltiindizies I ∈ {1,…,k}^k geschrieben werden.

Dann gilt die Kommutativität des Pullbacks mit dem äusseren Differential, also die zu zeigende Gleichheit d(φ*α) = φ*(dα) für alle k-Formen α. Die Frage ist, wie kann ich diese Gleichheit zeigen? Mir ist bekannt, dass die Relation d(φ*(dx^I)) = 0 für alle Multiindizies I gilt (das habe ich bereits mit Induktion nach der Länge eines Multiindex I erfolgreich gezeigt und kann es entsprechend als Hilfsaussage nutzen).

Meine erste Idee war es das Pullback von α zu bestimmen. Es müsste (wenn ich mich nicht täusche) φ*α = Σ (f_I • φ) φ*(dx^I) sein und das äussere Differential ist definiert als dα = Σ df_I Λ dx^I (Λ steht für das Dachprodukt).

Ich danke im voraus für jede Hilfe und Zeit! :-)

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1 Antwort

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Dein Ansatz ist schon richtig, du musst lediglich die Form \( \alpha \) als die Summe der Basiselemente ausdrücken und verwenden, dass
\(\begin{aligned} \phi ^{*} ( \alpha \land \beta )  = \phi ^{*} \alpha \land \phi ^{*} \beta \end{aligned}\)
und für 1-Formen gilt

\(\begin{aligned} \phi ^{*} ( f \cdot d x ^{ i}) = ( f \circ \phi ) d( x ^{ i} \circ \phi ) \end{aligned}\)
wobei \( f \colon M \to \mathbf{R}  \).

Auf Nachfrage hier die ausgeführte Erklärung:

\(\begin{aligned} \phi ^{*} ( f \cdot d x^{ i})_{ p}  ( V) &= ( f \cdot d x^{ i}) _{ \phi ( p) } ( d \phi _{ p} ( V) ) \\ &= f( \phi ( p) ) d x^{ i}_{ \phi ( p) } ( d \phi _{ p} ( V) ) \\ &= f( \phi ( p) ) d ( x ^{ i}\circ \phi ) _{ p} ( V) \end{aligned}\)
Im letzten Schritt wurde die Kettenregel verwendet.

Avatar vor von 4,8 k

Wie kann man das zeigen, dass die Gleichheit für 1-Formen gilt?

Das folgt aus der Kettenregel, wenn du die Definition anwendest.

Wie genau? Kannst du das einmal vormachen?

Ich habe meine Antwort erweitert.

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