offene Umgebung Metrik

Question

Aufgabe:
Ich tue mich schwer, folgende Äquivalenzaussage zu beweisen. Eine Umgebung aus dem Rⁿ ist genau dann offen bzgl. der euklidischen Metrik, wenn U offen ist bzgl. der Maximumsmetrik.

Problem/Ansatz:

Ich habe mit der Hinrichtung begonnen. also man nehme an, dass U offen bzgl der euklidischen Metrik ist, d.h. für alle x∈U ∃ε, s.d. Bε(x)⊆U ist. Außerdem weiß ich, dass es C1,C2∈ℝ_>0 gibt, s.d.C1*IIxII₂≤ IIxII_∞≤C2*IIxII₂

Answer 1

Fang an mit dem üblichen "Sei \(U\) offen bez. der 2-Norm, \(x_0\in U\)." Z.z. Es gibt ein \(r>0\) mit \(B_\infty(x_0,r)\subset U\).

Bew.: Nach Vor. weiß man, es gibt \(r_2>0\) mit \(B_2....\), also \(\|x-x_0\|_2<r_2 \implies x\in U\). Finde nun das gesuchte \(r\) mithilfe der Normäquivalenz.

Die Rückrichtung geht analog.