Fehler bei der Berechnung der Determinante

Question

Text erkannt:

b.) \( \operatorname{dim} \operatorname{Kem} A=2 \)

Basis von Kem \( A \)
\( \begin{array}{l} \left(\left(\begin{array}{c} -8 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{8} \\ \frac{8}{1} \end{array}\right)\right) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 2 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} 土-1 \\ 1 & -1 \\ 3 & -2 \\ 3 \end{array}\right)+2 \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & - & - \\ 1 & 1 & - \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right) \\ =2 \cdot\left(1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{c} 1-2 \\ 1-2 \\ 8 \end{array}\right)-1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 8 \\ 8 \end{array}\right)-\lambda \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)\right) \\ +2 \cdot\left(1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & -5 \end{array}\right)-\lambda \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 1 & -9 \\ -9 \end{array}\right)-\lambda \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right) \\ =2 \cdot(1 \cdot(8)-1 \cdot(-2))+2 \cdot(1 \cdot(-5)-1 \cdot(-9)-1 \cdot(2)) \\ =2 \cdot(8+2)+2 \cdot(-5+9-2) \\ =2 \cdot(10)+2 \cdot(2) \\ =20+4 \\ =24 \end{array} \)

Ich mache immer Fehler bei der Berechnung der Determinante, und ich weiß nicht, wo ich diese Fehler immer habe

Könnte jemand vielleicht drüber schauen und mir sagen wo die Fehler liegen könnten?

Answer 1

Ich würde die 3x3-Determinanten mit der Sarrusschen Regel rechnen (eine der wenigen Dinge, die man auswendig lernen müsste), damit komme ich bei der ersten Matrix auf det=-2 und bei der zweiten auf det=2.

Und wenn Du mit dem Entwicklungssatz rechnest, dann fehlen am Anfang die beiden Faktoren \(-1\).

Ich würde auch die 4x4-Determinante nicht mit dem Entwicklungssatz rechnen, sondern über den Gauß-Alg.. Dazu muss man aber saubere Gauß-Operationen durchführen, nicht irgendwelche.

Comments

Geht das denn schneller mit der Regel von Sarus?

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Probier's doch aus. Was für den einen schneller ist, ist es für den anderen nicht. Es geht ja auch um Sicherheit.

Wenn Du Dich dauernd verrechnest, ist es doch naheliegend mal andere Methoden zu versuchen.

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Ja das stimmt .. mache immer so blöde Fehler beim Kopfrechnen und in der Klausur haben wir nur so 5-6 Minuten Zeit für diese Aufgabe

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Ich(!) würde für einzelne kleine Rechenfehler keine Punkte abziehen, solange der Rechenweg der richtige ist (und die Aufgabe sich durch Fehler nicht vereinfacht). Aber das handhabt jeder anders.

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Geht das denn schneller mit der Regel von Sarus?

Meiner Meinung nach nicht. Natürlich ist das eine Sache der Übung. Schauen wir uns das mal an folgendem allgemeinen Beispiel an.

det[a, b, c; d, e, f; g, h, i]

Nach der Regel von Sarrus

 = (a·e·i) + (b·f·g) + (c·d·h) - (g·e·c) - (h·f·a) - (i·d·b)

oder nach Entwicklung der ersten Zeile

= a·(e·i - h·f) - b·(d·i - g·f) + c·(d·h - g·e)

Ich habe mal die Sachen geklammert die ich in der Regel im Kopf rechnen und aufschreiben würde. Da du die Determinanten der 2x2-Matritzen direkt ausrechnest hast du am Ende nur noch die Summe von drei Produkten dort stehen. Hingegen hat man bei der Regel von Sarrus die Summe von 6 Summanden.

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Ich versuch immer erst zu vereinfachen. Wenn ich die werte richtig abgelesen habe geht es z.b. so

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Ich wusste garnicht dass ich vereinfachen darf…

Ich habe es mal mit der Regel von Sarus versucht, allerdings komme ich auf -4 und nicht wie ich sollte auf 4, die Determinante ist nämlich = 4

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \cdot\left(\begin{array}{cccc} -0 & 1 & -1 & -1 \\ -0 & \hat{3} & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right) \\ +2 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 6 \end{array}\right)+2 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 \end{array}\right) \text {. } \end{array} \)

Regel von Sans:
\( \begin{array}{l} (1 \cdot 1 \cdot 6)+(1 \cdot(-2) \cdot 3)+((1) \cdot 1 \cdot 1)-((-1) \cdot 1 \cdot 3)-(1 \cdot(-2) \cdot 1)- \\ (1 \cdot 1 \cdot 6) \\ -(6)+(-6)+(1)-(-3)-(-2)-(6) \\ (6)+(-6)+(-1)-(-3)- \\ (-2)-(6) \\ =\frac{10}{}=0-6 \\ =(-1)+3+2-6 \\ =2-4 \\ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1-1-2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=-2 \end{array} \)
\( \begin{aligned} & (1 \cdot(-1) \cdot(-2))+(1 \cdot 3 \cdot 1)+((-1) \cdot 3 \cdot 1)-((-1) \cdot(-1) \cdot 1)- \\ & (1 \cdot 3 \cdot 1)-(1 \cdot 3 \cdot(-2) \\ = & 2)+(3)+(-3)-(1)-(3)-(-6)+2 \cdot(0) \\ = & 2-1-3+6 \quad 2+3-3-1-3+6 \\ = & 2-4+6=-4 \\ = & 0=0-1-3+6 \\ = & 0 \end{aligned} \)

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deine + - für die position kollidieren mit den vorzeichen, da kommt man leicht durcheinander,würde ich weglassen

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Dann solltest du dir die Regel zur Vereinfachung notieren, weil die extrem wichtig sind.

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!407:Rechenregeln_zu_Determinanten

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Die Vereinfachungen, die user26605 macht, habe ich oben als Gauß-Umformungen erwähnt. Wie gesagt, es sind nicht alle erlaubt (ohne weiteres).

die Determinante ist nämlich = 4

Und warum ist das so? "Der Prof sagt" wäre keine zulässige Begründung.

In Deiner Rechnung ganz oben stimmt der erste Schritt nicht (hab ich jetzt erst geprüft): Die zweite Zeile der zweiten Matrix muss 3, -1, 3 lauten.

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Nein, hab es mit dem Taschenrechner überprüft

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hab meinen Fehler glaube ich gefunden, ich versuche es nochmal..

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In deiner ersten rechnung mit sarrus ergibt die zweite determinate 4 und nicht 0. dann kommt auch  indgesamz richtig 4 raus.

und beim vereinfachen am besten 3 nullen machen

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Ne doch nicht

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { Nr.8.) }\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & -1 \\ -2 & \hat{y} & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right) 1-I \\ \sim\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & -1 \\ =2 & \hat{1} & -1 & - \\ 0 & 0 & \hat{2} & 3 \end{array}\right) \\ 2 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & -2+3 \end{array}\right) \\ =2 \cdot\left(-2 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right)+3 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & \hat{1} \\ 1 & \hat{0} \end{array}\right)\right)^{n} \\ =2 \cdot(-2 \cdot(-3)) \\ =2 \cdot 6 \\ =12 \end{array} \)

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3. zeile der 3x3 det

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Wo meinst du genau?

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Wo meinst du genau?

Die Zeile ist sogar blau angestrichen.

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Da sind Abschreibfehler drin. Beachte auch unbedingt den Tipp von user26605 zu den Vorzeichen.

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nur falsch übertragen aus 2 wird -2

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Ich verstehe nicht, wieso die -2 falsch ist, man muss doch die Vorzeichen eintragen

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hier liegt wohl ein grundsätzliches mißverständnis vor. Die vorzeichen ändern sich nie.

wenn man entwickelt, bekommen die det ein vorzeichen, dass sich schachbrettartig ändert. Zwei verschieden sachen, ncuht durcheinander bringen

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Wann genau trage ich denn die Vorzeichen ein? Zb + - + etc.?

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meiner meinung nach NIE.

diese + - + sind nur beim entwcklungssatz relevant und dann kann man abzählen wenns denn sein muß, aber nicht eintragen

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Ich danke euch alle vielmals für eure Zeit

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Es geht um die waagerechte blau markierte Zeile und nicht um die senkrechte Spalte.

Die Zeile 0 2 3 ist doch einfach nur korrekt zu übernehmen wie die anderen 2 Zeilen auch.

Du hast es geschafft die Zeile 1 1 -1 richtig abzuschreiben. Du hast auch geschafft die Zeile 1 1 -2 richtig abzuschreiben. Leider ist es nicht gelungen auch die Zeile 0 2 r richtig abzuschreiben.

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Ja stimmt, hab es jetzt gesehen

Ich habe noch eine Frage bezüglich der Aufgabenstellung, wenn da zum Beispiel Hinweise sind (hab die bisher immer ignoriert) verstehe ich nicht worauf ich achten soll, hier steht zum Beispiel „(Hinweis: Sie können vorher
die 1. Spalte durch eine Zeilenumformung vereinfachen.)“ gucke ich mir die erste Spalte an und vereinfache sie oder wie funktioniert das

Text erkannt:

Aufgabe 8. (7 Punkte) Sei
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right) \)
(a) Berechnen Sie \( \operatorname{det} A \) durch Entwicklung nach der 1. Spalte (Hinweis: Sie können vorher die 1. Spalte durch eine Zeilenumformung vereinfachen.)

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Das bezieht sich genau auf jene Umformungen, die hier schon angesprochen wurden. Beachte auch den Link von MC.

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Das ist ja cool von Dir, Hinweise sind als Hilfestellung gedacht, nur wer ambitionierter Überflieger ist, findet das unsportlich und probiert es ohne.

Du machst Dir damit das Bearbeiten der Aufgaben unnötig schwer (neben Deinen Schreibweisen und manchem Durcheinander mit Begriffen).

Und poste bitte generell(!, also jedes(!) mal), die Aufgaben vollständig mit Hinweisen.

Dieser Hinweis zielt auf das, was user26605 gemacht hat (er hat eine andere Variante gewählt).

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Du kannst von der 4. Zeile die 2. Zeile subtrahieren, damit du in der ersten Spalte nur noch eine Zahl ungleich Null hast. Das ist eine bereits oben erwähnte Vereinfachung mittels Gauss.

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Ja danke, ich hab nur nicht in dieser Aufgabe verstanden wie die Spaltenumformung machen soll

Hab das jetzt so versucht, aber die Determinante ist nicht richtig, da müsste -21 rauskommen:

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -6 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ -3 & -5 & 3 & -1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cc} -3 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \)
(a) Berechnen Sie \( \operatorname{det} A \) durch Entwicklung nach der 2. Zeile. (Hinweis: Sie können vorher die 2. Zeile durch eine Spaltenumformung vereinfachen.)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \operatorname{det} A=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -6 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ -3 & -5 & 3 & -1 \end{array}\right) \\ -\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ -3 & -5 & 6 & -1 \\ +2 \text { spalk } \end{array}\right) \\ \sim\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & \pm & 6 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & -5 & 1 & 2 \\ -5 & -1 \end{array}\right) \\ =-6 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & 1 \geq 1 & -1 & -3 \\ -3 & 1 \end{array}\right. \\ =-6 \cdot(-4+2+3-8) \\ =-6 \cdot(7) \\ =-42 \end{array} \)

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Bleibt die Determinante gleich, wenn du eine Zeile oder eine Spalte mit einem Faktor multiplizierst?

Bitte aber neue Fragen zu anderen Aufgaben getrennt einstellen.

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Ich weiß nicht, hatte noch nie eine Spaltenumformung gemacht

Oh sorry, soll ich eine neue Frage einstellen ?

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Oh sorry, soll ich eine neue Frage einstellen ?

Ja, das wäre nett. Ich habe dir extra den Merkzettel verlinkt für die Rechenregeln mit Determinanten.

Schau dort mal rein was passiert wenn du einen Faktor aus einer Zeile oder Spalte heraus ziehst?

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Merke: Eine Spaltenumformung funktioniert wie eine Zeilenumformung, denn man könnte die Matrix ja transponieren, dann eine Zeilenumformung machen und die Matrix wieder zurück transponieren.

Beim Transponieren (Vertauschen von Zeilen und Spalten) einer Matrix ändert sich die Determinante nicht.

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Jaa hab mir grad die ganzen Rechenregeln angeguckt von mathecouch, da stand alles wichtige drin