Substitution von f(x) = (3x^8) / (x^3 + 1)?

Question

Hallo ich komme bei dieser Rechnung nicht weiter.
Soweit bin ich schon:

$$f(x)\quad =\quad \frac { 3x^{ 8 } }{ x³+1 } \\ 1.\quad Substitutionsfunktion\quad bestimmen:\\ s(x)\quad =\quad x³+1\quad \quad s'(x)\quad =\quad 3x²\\ 2.\quad Ableitung\quad nach\quad dx\quad umstellen:\\ \frac { ds }{ dx } =3x²\quad ->\quad \frac { ds }{ 3x² } =dx\\ 3.\quad s\quad und\quad dx\quad in\quad das\quad Integral\quad einsetzen/berechnen:\\ \int { \frac { 3x^{ 8 } }{ x³+1 } dx } =\quad \int { \frac { 3x^{ 8 } }{ s } *\frac { ds }{ 3x² }  } =\quad \int { \frac { { x }^{ 6 } }{ s } ds } ={ x }^{ 6 }*ln(s)$$

Doch scheint dies nicht die korrekte Rechnung zu sein, denn am Ende sollte folgendes herauskommen:
ln(x^3 + 1) - x^3 + x^6/2

Wo habe ich falsch gerechnet?

Answer 1

Hi Timori,


problematisch ist hier, dass die Substitution nicht so gewählt wurde, dass nach der Subst. nur noch eine Variable im Integral vorliegt. Ich sehe hier gerade keine sinnvolle einfache Möglichkeit um mit Subst. anzusetzen und würde den Weg über die Division wählen. Dafür 3 erstmal vor das Integral schreiben und nach der Division haben wir dann:


$$3\int x^5-x^2 + \frac{x^2}{x^3+1} dx$$

Die ersten beiden Summanden sind einfach zu integrieren. Für den letzten Summanden beachte, dass die Ableitung des Nenners (mehr oder weniger) im Zähler steht -> Logarithmus.

Damit ist die Sache dann vollens schnell erledigt und Du kommst zum bekannten Eregbnis :).


Grüße

Comments

Hmm achso. So wie ich sehe gilt auch hier, wenn Nenner < Zähler ist, das man eine Polynomdivison durchführen sollte. Lieg ich da richtig?

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Ich wüsste jetzt gerade nicht, ob das eine "zwingende" Regel ist, als Faustregel kannst Du das aber sicher verwenden! :)

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Cool vielen dank. Und noch eine weiteres Hindernis überwunden ^^.