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Ich soll das Integral (exp(3x)+3)/(exp(x)+1) berechnen und es ist angegeben dass man Substitution verwenden soll. Ich habe leider keine Ahnung wie!
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Hi,

splitte erstmal, dann lässt sich das alles viel gemütlicher bearbeiten.

e3x+3ex+1  dx=e3xex+1  dx+3ex+1  dx\int \frac{e^{3x}+3}{e^x+1} \; dx = \int\frac{e^{3x}}{e^x+1} \; dx+\int\frac{3}{e^x+1}\; dx

Der erste Summand sei A. Der zweite sei B

B: Substituiere ex=ue^x = u und damit ex  dx=due^x\; dx = du

B=31u(u+1)  duB = 3\int\frac{1}{u(u+1)} \; du

Partialbruchzerlegung:

=31u  du31u+1  du=3\int\frac1u\; du - 3\int\frac{1}{u+1}\; du

=3ln(u)3ln(u+1)+c=3ln(ex)3ln(ex+1)+c = 3\ln(u)-3\ln(u+1) + c = 3\ln(e^x)-3\ln(e^x+1) + c

=3x3ln(ex+1)+c= 3x-3\ln(e^x+1)+c

A: Substituiere wieder ex=se^x = s und ex  dx=dse^x \; dx = ds

s2s+1  ds\int\frac{s^2}{s+1}\; ds

Polynomdivision (Achtung: Keine Partialbruchzerlegung, da Zählergrad>Nennergrad)

s1+1s+1  ds\int s-1+\frac{1}{s+1} \; ds

s22s+ln(s+1)+d=e2x2ex+ln(ex+1)+d\frac{s^2}{2}-s+\ln(s+1) + d = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + \ln(e^x+1) + d

Nun nur noch A+B

A+B=3xex+e2x22ln(ex+1)+fA+B = 3x-e^x+\frac{e^{2x}}{2}-2\ln(e^x+1)+f

Grüße
Avatar von 141 k 🚀
:)

Aber ist es richtig dass im ersten Schritt von A exp(3x)=s^2 statt s^3? hat das auf die weitere Rechnung auswirkungen?
Ja, das ist richtig ;).


Beachte, dass Du durch die Substitution ja noch das dx durch du ersetzen musst. Aber nicht einfach dx durchstreichen und du hinsetzen, sondern e^x dx = du --> dx = du/e^x

Es kürzt sich also einmal e^{3x} mit e^x zu e^{2x}, was dann letztlich als s^2 geschrieben wird.

Einverstanden?
Ja^^

Dann ein dickes Dankeschön :)


  B lässt sich einfacher integrieren.

  Zu integrieren sei : 1 / ( e^x + 1) Der Zähler wird umgeformt zu

  ( e^x + 1 - e^x ) / ( e^x + 1)
  ( e^x + 1 ) / ( e^x + 1 )  - e^x / ( e^x + 1 )
  1 -  e^x / ( e^x + 1 )  l integrieren zu
  x - ln(e^x + 1)   l noch mal 3 wie in der Aufgabenstellung
  3 * x  - 3 *  ln(e^x + 1)

  mfg Georg

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