Substitution und partiell? Integral (3x8)/(x3+1) was habe ich falsch gemacht?

Question

 ∫(3x⁸)/(x³+1)      u=(x³) +1             u´=3x²

 

∫((3x⁸)/u) *(1/3x²)      kürzen

= Integral (x⁶) /u,,,,,,,,,,,umformen und Integral (x⁶)*1/u und dieses dann aufleiten 

[(1/7) (x⁷) *ln(u)] partiell weiterrechnen

integral (x⁶) *(1/u)=[(x⁶)*lnu]-integral (6x⁵)*lnu

=x⁶*lnu-x⁶*u*lnu-u                    ist das richtig mit den u´s?

wenn ich es so auflöse bekomme ich am ende

2((x⁶)ln((x³)+1)) -(x⁹)-(x³)-1

 

Kann das bitte jemand korriegieren?

bitte keinen Wolfram alpha link. damit verstehe ich dieses Integral auch nicht.

Danke

Answer 1

∫ 3x^8 / (x^3 + 1) dx

Ich würde zunächst Polynomdivision machen

∫ 3x^5 - 3x^2 + (3x^2)/(x^3 + 1) dx

∫ (3x^2)/(x^3 + 1) dx
Substitution u = x^3 + 1

∫ 1/u du =  ln(u)

Resubstituieren

∫ (3x^2)/(x^3 + 1) dx = ln(x^3 + 1)

Nun kann ich die vollständige Stammfunktion bilden

∫ 3x^5 - 3x^2 + (3x^2)/(x^3 + 1) dx = 1/2*x^6 - x^3 + ln(x^3 + 1) + C

Comments

∫ (3x²)/(x³ + 1) dx
Substitution u = x³ + 1

∫ 1/u du =  ln(u)

müßte aber heißen

∫ u´ / u * du =  ln(u)

mfg Georg

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Das verstehe ich nicht ganz. Ich schreibe doch auch

∫ 1/x dx =  ln(x)

und hier benutze ich statt x doch einfach nur u

∫ 1/u du =  ln(u)

Wo ist da genau mein Fehler? Eigentlich schreibt man allerdings noch eine Integrationskonstante hin die ich aber eigentlich immer weg lasse, wenn nicht benötigt.

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Du hast recht. Deine Schreibweise ist korrekt. Ich war wohl noch bei der letzten
Anfrage von  mic und habe zu kompliziert gedacht.
 

∫ (3x²)/(x³ + 1) dx
Substitution u = x³ + 1
u´ = 3*x².
Daher kam ich auf  u´ / u.

Richtig ist aber da dx mitsubstituiert werden muß
u´= du / dx
dx = du / u´
∫ u´ / u * du / u´
∫ 1 / u * du

mfg Georg