Probleme beim integrieren durch sub und partiell

Question

Welche Substitution muss ich vornehmen um danach partiell inte. zu können, wichtig ist eig nur die Substitution.

∫x*tan^2(x) dx

Man soll aber definitiv zunächst sub. und dann partiell integrieren.

Answer 1

Es zählt eigentlich nicht zur Substitution aber du kannst es denke ich anders schreiben. Ich mache das mal vor.

∫ x·TAN(x)^2 dx

∫ x·(1/COS(x)^2 - 1) dx

∫ (x/COS(x)^2 - x) dx

∫ (x/COS(x)^2) dx - ∫ x dx

Schauen wir uns das erste Integral an und machen eine Partielle Integration

∫ (1/COS(x)^2·x) dx = TAN(X)·x - ∫ TAN(x) dx = TAN(x)·x + LN(COS(x))

Nun das ursprüngliche Integral

∫ (x/COS(x)^2) dx - ∫ x dx = TAN(x)·x + LN(COS(x)) - 1/2·x^2 + C

Answer 2

Verwende tan(x)^2 = sin(x)^2 / cos(x)^2 = ( 1 - cos(x)^2 ) / cos(x)^2 = 1/ cos(x)^2 - 1

Dann hast du das Integral

∫x*( 1 - 1 /cos²(x) )  dx

= ∫(  x   - x   /cos²(x) )  dx

= ∫ x dx    -   ∫ x   /cos²(x) )  dx    #

Also musst du dich kümmern um

  ∫ x   /cos²(x) )  dx  

jetzt partiell   mit f = x und g ' = 1 / cos(x)^2 aloso

 f ' = 1 und  g = tan(x) gibt

= x * tan(x)  -    ∫ 1* tan(x) dx  

= x * tan(x)  - ( - ln ( cos(x) ).

Das jetzt bei # einsetzen.