Partiell Integrieren: Verrechnet?

Question

Die Aufgabe: Partielle Integration von

Musterlösung:

x^3 * (3 * ln(x) − 1) / 9 + C

Mein Rechenweg bringt jedoch ein ganz anderes Ergebnis. Wie kommt man darauf? Vor allem, dass die 3 im Zähler steht...

Text erkannt:

i) \( \int \limits_{y^{\prime}} x^{2} \cdot \ln x d x \)
\( \begin{array}{ll} u=\ln x & u^{\prime}=\frac{1}{x} \\ v=\frac{x^{3}}{3} & v^{\prime}=x^{2} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} =\frac{\ln x \cdot x^{3}}{3}-\int \frac{x^{2}}{3} d x \\ =\frac{\ln x \cdot x^{3}}{3}-\frac{x^{3}}{9} \\ =x^{3} \cdot\left(\frac{\ln x}{3}-\frac{1}{9}\right) \end{array} \)

Answer 1

\( \int x^{2} \cdot \ln x \cdot d x \)

\( u^{\prime}=x^{2} \rightarrow u=\frac{1}{3} x^{3} \)

\( v=\ln x \rightarrow v \cdot=\frac{1}{x} \)

\( \int x^{2} \cdot \ln x \cdot d x=\frac{1}{3} x^{3} \cdot \ln x-\int \frac{1}{3} x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot d x= \)

\( =\frac{1}{3} x^{3} \cdot \ln x-\int \frac{1}{3} x^{2} \cdot d x= \)

\( =\frac{1}{3} x^{3} \cdot \ln x-\frac{1}{9} x^{3}+C \)

Comments

Aber habe ich nicht genau die gleiche bzw eine ähnliche Lösung raus? und ist sie dann  abweichend von der Musterlösung?

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Unsere Ergebnisse sind identisch. Wir haben nur u und v umgekehrt definiert. Das macht aber nichts. Die Musterlösung hat \( \frac{1}{9} \) ausgeklammert.

Answer 2

Hallo,

du hast das gleiche Ergebnis wie in der Musterlösung.

( ln x )/3=(3*ln x)/9

Nun noch 1/9 ausklammern.

+C nicht vergessen!

:-)

Answer 3

vgl:

https://www.integralrechner.de/