Erst substituieren und dann partiell integrieren

Question

Bestimmen sie das Integral, indem sie zunächst substituieren und dann partiell integrieren.

$$ \int \sin (\ln x)\\u=\ln x,~~dx=xdu \\\int \sin (u) ~xdu $$
Wenn ich damit weiterrechne kommt leider nichts sinnvolles heraus, kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

u = ln(x) gibt  x = e^u  also hats du

Integral sin(u) * e^u  du

Dann  partiell

=  sin(u) * e^u  -   Integral cos (u) * e^u  du

nochmal
= sin(u) * e^u  -   (   cos(u) * e^u  -   Integral (- sin (u)) * e^u  du
Insgesamt also

2 * Integral sin(u) * e^u  du  =   sin(u) * e^u  -    cos(u) * e^u

also  Integral sin(u) * e^u  du  =  ( sin(u) * e^u  -    cos(u) * e^u    ) / 2

Answer 2

die Substitution sollte dazu führen, dass kein \( x \) mehr vorkommt:

\( \int \sin(\log(x)) dx \).

Die Substitution ist:

\( u = \log(x) \), \( x = \exp(u) \), \( dx = \exp(u) du \).

Es ergibt sich:

\( \int \sin(u) \exp(u) du \).

Dieses Integral lässt sich nun partiell integrieren.

Mister

Answer 3

wegen der partiellen Integrationsformel schreibe ich z für u

x = e^z 

∫ sin(z) * e^z  dz  

das dürfte partiell (2-mal)  kein Problem sein:

∫ u * v ' = uv - ∫ u' * v

u = sin(z) , v ' = e^z

Gruß Wolfgang