Question

Produkt partiell integrieren: ∫ x * e^x dx

u = x
u' = 1
v = e^x

Partielle Integration:

\( \int f(x) d x=u(x) \cdot v(x)-\int u^{\prime}(x) \cdot v(x) d x \)

= x * e^x -  ∫ 1 * e^x dx
= x * e ^x - x * e^x

Ist das bis jetzt richtig? Wenn ja, wie geht es weiter? Kann man hier auch mit Substitutionsmethode anwenden statt partielle Integration?

Answer 1

= x * e^x -  ∫ 1 * e^x dx

= x * e ^x - x * e^x

Da hast du einen Fehler :

∫ 1 * e^x dx =  ∫ e^x dx = e^x

Achso und oben ist v'=e^x

f(x)  wählst du ja so :

f(x)= u(x)*v'(x)

Also ist kein Fehler da ja trotzdem gilt v'=e^x  ==> v = e^x   ,aber wollte das nochmal klar stellen.

Answer 2

Zum Schluss bracht es das x nicht mehr. Die 1 im Integranden kannst du einfach weglassen.

"...= x * e ^x -  e^x "

Vergiss aber die Integrationskonstante nicht

"...= x * e ^x -  e^x  + C = e^x(x-1) + C

Du kannst auch  F(x) = (ax + b) * e^x + C ansetzen.
Ableiten F ' (x) = a * e^x + (ax + b) * e^x  = (a + b + ax) * e^x 
Nun soll gelten x * e^x = (a+b+ ax)* e^x 
Also x = a+b + ax   für beliebige x
Vergleich führt auf das LGS
1 = a   (I)
0 = a+b (II)   → b = -1
Somit  F(x) = (x-1) * e^x + C 

Answer 3

Substitutiton geht leider nicht.

Weißt du wie du

f(x) = x * e^x

ableitest

f'(x) = e^x·(x + 1)

f''(x) = e^x·(x + 2)

Was passiert wenn man die Funktion ableitet?

was könnte man bezüglich einer Stammfunktion vermuten?

Vermutung

F(x) = e^x·(x - 1)

Wir leiten das ab und zeigen so, dass die Vermutung gilt.

Solche Vermutung können wir immer aufstellen wenn wir eine Funktion

f(x) = e^x·P(x)

integrieren wollen, wobei P(x) ein Polynom ist.

Answer 4

Hi, das TeXen würde ich an Deiner Stelle noch ein wenig optimieren!

Mit der TeX-Vorschau und etwa Copy & Paste bekomme ich:

$$ \int x \cdot\text{e}^x\,\text{d}x = x \cdot\text{e}^x - \int \text{e}^x\,\text{d}x = x \cdot\text{e}^x - \text{e}^x = (x-1) \cdot \text{e}^x. $$

(Die Integrationskonstante habe ich weggelassen.)