Zeige: Doppelte Nullstelle eines Polynoms ist Nullstelle seiner Ableitung.

Question

Das ist eine Aufgabe aus meiner Mathevorabiklausur, die ich leider nicht lösen konnte. Ich würde aber trotzdem gerne die richtige Lösung wissen.

Man sagt, ein Wert b sei eine doppelte Nullstelle eines Polynoms P, wenn sich P mit Hilfe eines weiteren Polynoms Q wie folgt beschreiben lässt:

P(x)=(x-b)²*Q(x)

Zeige, dass b in diesem Fall auch eine Nullstelle der Ableitung von P ist.

Answer 1

Ableiten mit Produktregel

P(x) = (x - b)^2 * Q(x)

P'(x) = 2*(x - b) * Q(x) + (x - b)^2 * Q'(x) = (x - b) * (2 * Q(x) + (x - b) * Q'(x))

wzbw

Comments

ist das so schon zu Ende? oder muss ich da noch etwas machen?

---

Das ist fertig!

(x-b) als Faktor zeigt, dass x=b eine Nullstelle der Ableitung ist.

---

$$ P(x) = (x - b)^2 \cdot  Q(x) $$
$$  P'(x) = 2 \cdot (x - b)  \cdot  Q(x) + (x - b)^2  \cdot  Q'(x)$$
$$  P'(x)= (x - b)  \cdot   \left(2   \cdot   Q(x) + (x - b) * Q'(x)\right)  $$
hübsch formulieren könnte man das so:$$$$
Die doppelte Nullstelle in dem Ausgangspolynom zeigt sich dort durch einen  Linearfaktor welcher im Quadrat vorliegt.
Der gleiche Linearfaktor bleibt - allerdings nun in erster Potenz - in der ersten Ableitung erhalten. Somit liegt die gleiche Nullstelle auch in der ersten Ableitung vor. Daraus folgt: An einer doppelten Nullstelle einer Polynomfunktion ist an dieser Stelle die Steigung Null. q.e.d.