Bestimmen Sie a so, dass die Parabel eine doppelte Nullstelle hat.

Question

f(x)= a * x^2 + (1+a) * x +1

a) geben Sie an, für welche Werte a die Scharparabel nach unten geöffnet ist

b) Bestimmen Sie a so, dass die Parabel eine doppelte Nullstelle hat.

c) bestimmen Sie a so, dass, dass die Parabel die Gerade y= -x-1 berührt.

  Gib dazu die Koordinaten des Berührpunktes an

d) Zeigen Sie, dass sich alle Parabeln der Schar an der Stelle x=0 schneiden.

Answer 1

Erst einmal die einfachen Sachen:

a) Für a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

...

d) f(0)=1

Der gemeinsame Punkt liegt bei P(0|1).

:-)

b)

0= a * x^2 + (1+a) * x +1.  |:a

0= x^2+(1+a)/a *x +1/a

Die pq-Formel ergibt unter der Wurzel

(1+a)^2/(4a^2) -1/a

Wenn dieser Term Null ist, gibt es eine doppelte Nullstelle.

(1+a)^2/(4a^2) -1/a=0.     |*4a^2

1+2a+a^2-4a=0

1-2a+a^2=0

(1-a)^2=0

--> a=1

c)

Gleichsetzen

a * x^2 + (1+a) * x +1=-x-1

Umformen und pq-Formel.

Dann wieder den Term unter der Wurzel Null setzen.

Comments

danke, ich hab es jetzt kapiert.

Hab Sie als "Beste" gewählt !!!

Answer 2

(a) Unter welchen Bedingungen ist eine Parabel nach oben / unten geöffnet? Das sieht man sofort an der Funktion.

(b) Wann hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle? Dafür gibt es ein Kriterium.

(c) Eine Funktion berührt eine andere. Auch dafür gibt es ein wichtiges Kriterium.

(d) Hier machst Du den Ansatz \( f_a(x) = f_b(x) \). Zusammenfassen, faktorisieren.

Comments

Ich wüsste halt gerne diese Kriterien.

Oder wo soll ich nachschlagen ?

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bei d) Wenn ich nur gleichsetze kann es auch ein Schnittpunkt sein.

Die Gerade muss eine Tangente an die Parabel sein und die Steigung muss gleich sein beim Berührpunkt.

Aber wohin dann mit dem a ?

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@ubuser

Guck dir mal meine Antwort an.

;-)

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Du hast mit Sicherheit schon allgemeine Parabeln \( ax^2+bx+c \) untersucht.

(a) Unter welchen Bedingungen ist eine Parabel nach oben / unten geöffnet? Das sieht man sofort an der Funktion.

(b) Wann hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle? Dafür gibt es ein Kriterium. Wie berechnet man die Nullstelle? Wann hast Du zwei oder eine oder keine?

Answer 3

b) Bestimmen Sie a so, dass die Parabel eine doppelte Nullstelle hat.
Weg über die Ableitung:

f(x)= a * x^2 + (1+a) * x +1

f´(x)=2 a x+1+a

2 a x+1+a=0

x = \( \frac{-1-a}{2a } \)

f(\( \frac{-1-a}{2a } \))= a * (\( \frac{-1-a}{2a } \))^2 + (1+a) * (\( \frac{-1-a}{2a } \)) +1

a * (\( \frac{-1-a}{2a } \))^2 - (1+a) * (\( \frac{1+a}{2a } \)) +1=0

Text erkannt:

\( \frac{(-1-a)^{2}}{4 a}-\frac{2(1+a)^{2}}{4 a}+1=0 \)
\( -(1+a)^{2}+4 a=0 \)
\( a^{2}-2 a=-1 \)
\( (a-1)^{2}=0 \)
\( a_{1,2}=1 \)

Text erkannt:

V

Comments

Danke Moliets,

muss das in der Zeile vor dem Kasten im Nenner nicht 4 a^2 heißen ??

Die Klammer mit dem ^2 geht ja auch über den Nenner ????

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So ergibt sich die Zeile im Kasten :

a * (\( \frac{-1-a}{2a } \))^2 = a*\( \frac{(-1-a)^2}{4a^2} \)   = \( \frac{(-1-a)^2}{4a} \)

        

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danke, verstanden.

Answer 4

d) Zeigen Sie, dass sich alle Parabeln der Schar an der Stelle x=0 schneiden.

f_{a}(0) = 1