Zeige: Doppelte Nullstelle.

Question

ich habe absolut keine Ahnung wie diese Aufgabe funktioniert und würde mich über eine Lösung freuen.

Gegeben: f: ℝ→ℝ Polynomfunktion. Eine reelle Zahl a heißt doppelte Nullstelle von f, falls

f(x) = (x−a)²g(x)

gilt, wobei g ebenfalls eine Polynomfunktion ist, wie zeige ich nun, dass a eine doppelte Nullstelle von f ist, damit auch a eine Nullstelle von f ' (Ableitung von f) ist.

Comments

Dass a eine doppelte Nullstelle ist, musst du nicht beweisen. Das ist ja in der Aufgabe schon als doppelte Nullstelle definiert. 

Answer 1

f(x) = (x−a)² * g(x)

h (x) = (x−a)²
h ( x ) = ( x -a ) * ( x - a )
falls x = a dann ist es eine doppelte Nullstelle.

f(x) = (x−a)² * g(x)
Ein Produkt ist dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist.

wenn ( x - a)^2 null ist dann ist auch f ( a ) 0 .

Answer 2

wenn a eine doppelte Nullstelle von f ist, dann

gilt s.o.   f(x) = (x−a)²g(x)  wobei g ....

dann ist f ' (x) =   (nach Proiduktregel)

      =     2(x-a)*g(x) + (x-a)^2 * g '(x)

und wenn du dort x=a  einsetzt kommt 0 heraus. BINGO !