Zwei Hauswände und Boden

Question

Aufgabe:

Der Boden eines Hauses liegt in der x₁x₂-Ebene, eine Hauswand in der Ebene E: 2x₁ - 3x₂ = 5. Eine zweite Hauswand enthält den Punkt P(1|2|2) und ist orthogonal zu E und dem Boden.

a) Zeigen Sie, dass die Hauswand, die in E liegt, einen rechten Winkel mit dem Boden einschließt.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der die zweite Hauswand liegt.

Problem/Ansatz:

Wie könnte man dies am besten in Form einer Skizze darstellen? Wäre es dann korrekt, die Spurpunkte zuerst einzuzeichnen?

Answer 1

Ja. Spurpunkte würde ich auch zuerst einzeichnen. Das macht das übersichtlicher.

Zeichne es vielleicht auch nur als Draufsicht, weil ja alles orthogonal zum Boden sein soll.

Geogebra ist immer eine gute Wahl, sich das ganz schnell zu skizzieren.

Comments

a) Zeigen Sie, dass die Hauswand, die in E liegt, einen rechten Winkel mit dem Boden einschließt.

Skalarprodukt der Normalenvektoren von E und der xy-Ebene sollte Null sein.

[2, -3, 0]·[0, 0, 1] = 0

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der die zweite Hauswand liegt.

Für die zweite Hauswand eignet sich der Normalenvektor [3, 2, 0]. Kannst du das begründen?

Damit jetzt die Ebene in Koordinatenform aufstellen

F: 3x + 2y = 7

Answer 2

Auch wenn Skizzen häufig sinnvoll sind, halte ich sie hier gar nicht für notwendig, da die Aufgaben recht klar formuliert sind. Grundsätzlich sollte man wissen, was es bedeutet, wenn zwei Ebenen orthogonal sind. Da hilft dann auch eine allgemeine Skizze oder Vorstellung davon.

a) Prüfe die Orthogonalität der entsprechenden Normalenvektoren.

b) Bestimme mit dem Kreuzprodukt einen Vektor, der orthogonal zu den beiden Normalenvektoren der angegebenen Ebenen ist. Die rechte Seite der Ebene ergibt dann das Skalarprodukt aus dem NV der Ebene und dem angegebenen Punkt.