Quadratische Funktionen / Nullstellen bestimmen: y = (x-3)^2-4

Question

Wie bestimmt man für folgende Aufgabe die Nullstelle?

1) y = (x-3)²-4

Ergebnis: NS(5/10)

Leider kann ich nicht nachvollziehen wie man auf dieses Ergebnis kommt.. Kann mir jmd. die einzelnen Schritte erklären?? Vielen Dank

Answer 1

Um bei quadratischen Funktionen zu den Ergebnissen zu kommen wendest du die Mitternachtsformel an.

Um diese aber anwenden zu können musst du zuerst die Gleichung auf die sogenannte Normalform bringen, die so auszusehen hat:

y = x² + ax + b

Du kannst imgrunde jede quadratische Funktion auf diese Form bringen. In diesem Fall multiplizierst du einfach mal aus, nach der binomischen Formel kommt für (x-3)²-4 einfach (x²-6x+9)-4 heraus.

Also einfach x²-6x+5, was auch gleichzeitig schon die Normalform ist. (Wäre der Faktor vor dem x² etwas anderes als 1, dann müsstest du die gesamte Gleichung mit diesem Faktor kürzen, um auf die Normalform zu kommen.

Tja und jetzt kannst du die Mitternachtsformel anwenden, die da lautet: -(p/2) + √((p/2)²-q), wobei p der Faktor a vor dem x ist und q = b.

p ist also -6 und q ist 5, dadurch ergibt sich: -(-6/2) + √((-6/2)²-5)

3 + √(9-5)

3 + √(4)

3 + 2

x₁ = 5

x₂ = 1

Also bist du sicher, dass die Lösungen 5 und 10 sein müssen? Ich komm mit meiner Rechnung auf 5 und 1 und das sieht mir auch recht logisch aus, da man 0 erhält, wenn man diese beiden Ergebnisse oben einsetzt.

Answer 2

Um Nullstellen zu bestimmen setzt Du die Funktionsgleichung gleich Null und lösen es nach x auf:

y = (x - 3)^2 - 4 = 0 | +4
(x - 3)^2 = 4 | √
x - 3 = +- 2 | +3
x = 3 +- 2 | +3

x₁ = 3 + 2 = 5
x₂ = 3 - 2 = 1