Untervektorraum beweisen und Basis bestimmen

Question

Hallöchen,

ich probiere gerade meine Aufgabe zu lösen, bekomme die aber irgendwie nicht hin.

 

Sei ℝ^ℕ :={f:ℕ→ℝ:∃N_f∈ℕ,f(n)=0 für n≥N_f}. Zeigen Sie, dass die Menge F:={f∈ℝ^ℕ:∑_i∈ℕ f(i)=0⊂ℝ^ℕ} zusammen mit den auf F eingeschränkten Verknüpfungen von ℝ^ℕ einen Untervektorraum von ℝ^ℕ bildet und bestimmen Sie eine Basis dieses UVR.

 

Wie löst man die Aufgabe und was sind auf diese eingeschränkten Verknüpfungen?

Bitte um Hilfe, Danke.

Answer 1

 

ℝ^ℕ :={f:ℕ→ℝ:∃N_f∈ℕ,f(n)=0 für n≥N_f}. 

Lese ich als Menge aller Folgen, die ab einem bestimmten Zeitpunkt nur noch die Folgenglieder 0 haben.

F:={f∈ℝ^ℕ:∑_i∈ℕf(i)=0⊂ℝ^ℕ}

Diejenigen dieser speziellen Nullfolgen, deren Summe zusätzlich 0 ist.

Verknüpfungen in einem Vektorraum sind z.B.

Mult. der Vektoren mit einer reellen Zahl (in diesem Fall wird jedes Folgenelement mit dieser reellen Zahl multipliziert),

Addition von Vektoren (in diesem Fall wird man 2 solche Folgen addieren, indem man ihre Folgenglieder addiert).

Für einen UVR brauchst du z.B.

dass diese Mult mit einer reellen Zahl a wieder auf ein Element von F führt.
Das stimmt, da du a ausklammern und vor das Summenzeichen nehmen kannst.

ausserdem muss die Summe zweier Folgen aus F wieder in F liegen.
Das liegt daran, dass die Addition in R kommutativ ist und man es nur mit endlich vielen Elementen ≠ 0 zu tun hat.

a + b = (a1+b1, a2+b2,…,0,…) 
Summe der Folgenglieder: a1+b1+a2+b2+…+0… =a1+a2+…+b1+b2+…+0… 
= (nach Voraussetzung in F) = 0 + 0+ 0 = 0. qed Summe in F

Jetzt schaust du noch, was gemäss Definition noch brauchst für einen UVR. Z.B. einen Nullvektor bezügl. Addition. Das wäre die Folge (0,0,0,…)

Comments

Du hast ja geschrieben ''Verknüpfungen in einem Vektorraum sind z.B.'', gibt es da noch mehr Verknüpfungen? Ich kann mit den ''eingeschränkten Verknüpfungen'' aus der Aufgabe leider nichts anfangen.

Das mit der Multiplikation und Addition ist das die Abgeschlossenheit?

Für einen UVR wäre noch, dass die Menge F≠∅ ist, aber wieso muss ich zeigen, dass es einen Nullvektor gibt?

Achso, ich weiß nicht, ob das mit der Summe oben richtig rüberkommt. ∑f(i)=0 mit i∈ℕ

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Ich kann mit den ''eingeschränkten Verknüpfungen'' aus der Aufgabe leider nichts anfangen.

- Das heisst einfach, dass du eine neue Grundmenge hast.

-Ähnlich wie wenn du die Addition von R plötzlich auf Z einschränkst.

 

Das mit der Multiplikation und Addition ist das die Abgeschlossenheit?

-Ja das ist die Abgeschlossenheit.

 

Für einen UVR wäre noch, dass die Menge F≠∅ ist,

 

-Das geht auch. Bsp. v=(1,-1,0,0,0…) ist ein Element von F.

-Nun ist auch -1*v ein Element von F,

-Danach automatisch v + (-1)*v = (0,0,0,…) und du musst das nicht noch extra zeigen.

 

aber wieso muss ich zeigen, dass es einen Nullvektor gibt?

- tatsächlich unnötig. Nur, wenn ich den Nullvektor angebe, habe ich doch eigentlich auch gezeigt, dass der UVR nicht leer ist.

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Man sollte ja noch eine Basis bestimmen.

Ich würde:

(1,-1,0,…)

(0,1,-1,0,…)

(0,0,1,-1,0,…)

(0,0,0, 1, -1,0,…)

…

(…0,1,-1,0,…)

vorschlagen.

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Bei ∑f(i)=0 kommt da nicht immer nur 0+0+0+...? Oder verstehe ich das falsch?

Wie kommst du denn auf die 1 und -1??

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1 + (-1) = 0 

Die Summe muss einfach 0 sein. Wie ist egal.

Es ginge auch 1+2+(-3) =0

und dann nach Definition ab der Stelle N_f nur noch Nullen.