DGL lösen (Homogenität, Ordnung...)

Question

Betrachten Sie die Differentialgleichung

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x(t)=-a x(t)+b \)

a) Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)?

b) Berechnen Sie die Lösung dieser Differentialgleichung für \( a=2, b=4 \) und die Anfangsbedingung \( x(t=0)=3 \) durch Variation der Konstanten.

c) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für \( 0<a<b \) und beliebige Anfangsbedingungen \( x(0)>0 \) durch Variation der Konstanten.

d) Zusatzaufgabe: Die DGL lässt sich auch direkt durch Trennung der Variablen lösen. Berechnen Sie auf diesem Weg die allgemeine Lösung. Bringen Sie die beiden Lösungen aus (c) und (d) auf die gleiche Form.

Ansatz:

zu a)
1. Ordnung, da d/dt statt d²/dt²
linear
inhomogen, da b statt bx
konstante Koeffizienten

zu b)

Mein Vorschlag:

\( \frac{d}{d t} x(t)=-a x(t)+b \)
\( \frac{d}{d t} x(0)=-2 x+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(1)=-2 x+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(2)=-2 x+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(3)=-2 x+4 \)

oder

\( \frac{d}{d t} x(t)=-a x(t)+b \)
\( \frac{d}{d t} x(0)=-2 x(0)+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(1)=-2 x(1)+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(2)=-2 x(2)+4 \)
\( \frac{d}{d t} x(3)=-2 x(3)+4 \)

Comments

Das sind keine Lösungen.

Die Lösung der DGL setzt sich immer aus dem homogenen und dem partikulären Teil zusammen

Answer 1

Aufgabe d)

x'(t) = -2 x(t) +4

dx/(-2 x(t)+4) =dt

-(1/2)* ln| 4-2x|= t+C

x= (-1/2) e^{-2t-2c} +2