Was ist die Quadratwurzel aus 8 + 6i und wie berechnet man sie?

Question

Hi,

ich wollte fragen, was die Qudratwurzel aus 8 + 6i ist und wie man sie berechnet?

 

Dankeschön! :)

Comments

Allgemeinere Lösung: Vgl. https://www.mathelounge.de/111252/leitet-quadratwurzel-komplexen-trigonometrische-benutzen

Answer 1

Die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl a gibt es nicht.

Aber jeweils 2 Zahlen z für die gilt z^2 = a.

Setze an

z^2 = (x+iy)^2 = 8 + 6i

multipliziere aus und mach dann daraus ein Gleichungssystem, damit du x und y bestimmen kannst.

 (x+iy)^2 = 8 + 6i

x^2 + 2ixy - y^2 = 8 + 6i            |Real- und Imaginärteil müssen links und rechts gleich sein.

Im: 6 = 2xy -----> y = 3/x

Re: x^2 - y^2 = 8

y einsetzen

x^2 - 9/x^2 = 8

x^4 - 9 = 8 x^2

x^4 - 8 x^2 - 9 = 0

 x^2 = 1/2 (8 ± √ (64 + 36))

x^2 = 1/2 (8 ± √ 100 )

= 1/2 (8 + 10)                |x^2 kann ja nicht neg. sein.

x^2 = 9

x1 = 3    ----> y1 = 3/3 = 1                 z1 = 3 + i

x2 = -3 → y2 = 3/-3 = -1            z2 = -3 -i 

Kontrolle

(3+i)^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i

(-3-i)^2 = (-1)^2 ( 3+i)^2 = 8 + 6i. ok.

Answer 2

Mach doch einfach folgendes:

 

.....

Du wandelst z = 8 + 6i in die Eulersche Form um (Betrag und Winkel berechnen)

Dann ziehst du von der eulerschen Form die Quadratwurzel, indem du die Quadratwurzel aus dem Betrag ziehst und den Winkel im Exponenten der e-Funktion durch zwei Teilst.

Dann hast du sowas stehen wie √(z) = +- √(r) * e^j*(Winkel/2)