Ich rechne dir hier ein Beispiel für n=2 vor. (Vektorklammern kannst du bestimmt symmetrisch schliessen; da fehlt nichts!)
$$ Beispiel n=2: A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\ i=1: \varphi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\\ i=2: \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \text{ Summe von 3 bis 2: leere Indexmenge.}\\ Also ;\ \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ $$
Nach einem Schritt ist der resultierende Raum auf die y-Achse reduziert. Im zweiten Schritt verschwindet die y- Dimension.
qed für n=2
Wenn du nun statt 1234 a11 … einsetzt, ist die Verankerung für n=2. Also φ^2 = 0 gelungen.
Zum Induktionsschritt n --> n+1
Du kannst voraussetzen, dass nach n Schritten die ersten n Basisvektoren schon auf den Nullvektor abgebildet werden. Im n+1-ten Schritt wird dann auch der letzte Basisvektor zum Nullvektor.
Da ein Endomorphismus strukturerhaltend ist, werden auch alle andern Vektoren auf den Nullvektor abgebildet, da sie sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lassen.
Ich hoffe, du kommst weiter.