z^2 + (1-2j)z+6-2j=0 wer kann mir helfen :(((

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, was ich nicht kann. Das ist eine Aufgabe mit Quadratische Gleichung mit Komplexen Lösungen.  Ich habe auch schon versucht mit jemanden zu lernen aber der konnte auch nicht so wirklich die Aufgabe mit mir lösen.  Quadratische Ergänzungen konnte ich nie so gut und weiß halt auch nicht wie das jetzt in das Thema komplexe zahlen anwenden soll, ich verstehe es nicht :((((

Die Aufgabe lautet folgendermaßen: 

Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichung

z² + (1-2j)z +6-2j=0 

 

Kann mir vielleicht jemand langsam und mit Rechenschritten diese Aufgabe erklären?  

Aber kann mir das jemand auch so erklären das ich es verstehen kann, denn in Mathe bin ich nicht so gut, und bei dieser Aufgabe erst recht verstehe ich sowieso nix :(((

Comments

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung: a*x² + b*x + c = 0

hier: a = 1, b = 1-2j und c = 6- 2j

Die Lösungen der allg. quadr. Gleichung sind x_1/2 = (-b ± d)/(2*a), wobei d eine Lösung aus der Gleichung s² = b² - 4*a*c ist.

zunächst die Gleichung für s² aufstellen: s² = (1 - 2j)² - 4*1*(6 - 2j) = 1 - 4j + 4j² - 24 + 8j

Es gilt: j² = -1 -> s² = 1 - 4j - 4j - 24 + 8j = -23

Den Rest schaffst bestimmt alleine .-)

Answer 1

z ² + ( 1 - 2 j ) z + 6 - 2 j = 0

Zunächst das absolute Glied auf die rechte Seite bringen.

<=> z ² + ( 1 - 2 j ) z =- 6 + 2 j

[ Nun die quadratische Ergänzung bestimmen. Dazu den Koeffizienten des linearen Gliedes durch 2 dividieren und das Ergebnis quadrieren. Der so erhaltene Ausdruck ist die quadratische Ergänzung. Sie lautet vorliegend:

( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ²

Dieser Ausdruck wird nun auf beiden Seiten addiert:]

<=> z ² + ( 1 - 2 j ) z + ( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ² = - 6 + 2 j + ( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ²

Auf der rechten Seite multipliziert man nun aus und erhält:

<=> z ² + ( 1 - 2 j ) z +  ( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ² = - 6 + 2 j + ( 1 - 2 j ) ² / 4 = - 6 + 2 j + ( 1 - 4 j + 4 j ² ) / 4

[ Es ist: j ² = - 1, daher:

= ( 1 - 4 j - 4 ) / 4

= ( - 3 - 4 j ) / 4

also: ]

<=> z ² + ( 1 - 2 j ) z + ( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ² = - 6 + 2 j + ( - 3 - 4 j ) / 4

[Rechte Seite weiter zusammenfassen:]

<=> z ² + ( 1 - 2 j ) z +  ( ( 1 - 2 j ) / 2 ) ² = ( - 24 + 8 j - 3 - 4 j ) / 4 = ( - 27 + 4 j ) / 4

[Nun die linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:]

<=> ( z  + ( 1 - 2 j ) / 2 ) ² = ( - 27 + 4 j ) / 4

[Wurzel ziehen:]

<=> z  + ( 1 - 2 j ) / 2  = ± √ ( ( - 27 + 4 j ) / 4 ) = ± ( 1 / 2 ) * √ ( - 27 + 4 j )

[Nach z auflösen:]

<=> z   = - ( 1 - 2 j ) / 2 ± ( 1 / 2 ) * √ ( - 27 + 4 j )

[und auf der rechten Seite den Faktor 1 / 2 ausklammern:]

<=> z   = ( 1 / 2 ) * ( - 1 + 2 j ± √ ( - 27 + 4 j ) )