Extremwertaufgabe (Oberfläche berechnen)

Question

Hi!

Ich komme bei einem Bsp nicht weiter und bräuchte Hilfe.

"Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose vom Volumen V (250 cm³) wählen, damit die Oberfläche minimal wird? Wie verhalten sich Durchmesser und Höhe zueinander?"

Hauptbedingung: O --> min --> O = 2 * r² * Pi  +  2*r * Pi *h

Nebenbedingung: V --> 250 = r² Pi h

h = 250 / r² Pi

h  in  HB

O =  2 * r² * Pi  +  2*r * Pi *  (250 / r² Pi)

O =  2 * r² * Pi  +   (500 / r) /
O =  2 * r² * Pi  +   500 r ^ -1 / ' Ableitung

O = 4 * r * Pi  +  500  r ^ - 2 / '' Ableitung

O = 4 * r * Pi  +  500  r ^ - 3

-1000 r ^ -3 = 4 Pi

-->  1000 / 4 Pi = r^3

3 Wurzel 250 / Pi = r

Wenn ich r jetzt in h einsetze sollte ich h = 2·³√(250/π) bekommen.  Wenn ich h aber umforme komme ich nicht auf das Ergebnis.

Answer 1

Du hast glaub ich einmal zuviel abgeleitet
Außerdem gehört ein minus zwischen die Teilterme
Extrempunkt : 1.Ableitung = 0
O ´( r ) = 4 * r * Pi  -  500 / r^2 = 0
r = ³ √ ( 125 / Pi ) = 3.414

h = 250 / ( Pi * r^2 ) = 6.828

Soviel zunächst.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Danke :]


Aber wie kommst du von

O ´( r ) = 4 * r * Pi  -  500 / r2 = 0  auf      r = 3 √ ( 125 / Pi )


ich versteh die Umformung dazwischen nicht.

---

Also ich hab:

4 * r * Pi  -  500 / r2

500 / r² = 4 r Pi

500 / r^3 = 4 Pi

500/ 4 Pi = r^3  / Wurzel

r = 3 Wurzel 125 / Pi


gerechnet


stimmt das ?

---

Der Rechenweg ist richtig. Mit der richtigen Klammerung
hapert es allerdings bei dir. Grins.

mfg Georg