Extremwertaufgaben: Einem Drehkegel soll ein Drehzylinder mit maximaler Oberfläche einbeschrieben werden.

Question

Einem Drehkegel (r,h) soll ein Drehzylinder mit maximaler Oberfläche einbeschrieben werden.

Ges: Flächeninhalt der Oberfläche

Oberfläche vom Zylinder = 2r^2π +2rπh

kluge Köpfe gefragt  =))

Comments

Musst du eigentlich gleich eine ganze Reihe von gleichartigen Aufgaben lösen, ohne dass ihr da vorgehend Theorie gemacht habt?

Answer 1

x = Höhe des Zylinders
y = Radius des Zylinders

Hauptbedingung (max. Oberfläche)

O = 2 * pi * y^2 + 2 * pi * y * x

Nebenbedingung

x = h - h/r * y

Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

O = 2 * pi * y^2 + 2 * pi * y * (h - h/r * y)
O = - 2·pi·h·y^2/r + 2·pi·y^2 + 2·pi·h·y
O' = - 4·pi·h·y/r + 4·pi·y + 2·pi·h = 0

y = h·r / (2·h - 2·r)

x = h - h/r * (h·r/(2·(h - r))) = (h^2 - 2·h·r) / (2·h - 2·r)

O = 2 * pi * (h·r / (2·h - 2·r))^2 + 2 * pi * (h·r / (2·h - 2·r)) * (h - h/r * (h·r / (2·h - 2·r)))
O = pi·h^2·r / (2·h - 2·r)

Ich bitte alle Rechnungen sorgfältig mit Zwischenrechnungen zu prüfen.

Ebenso ist noch zu prüfen ob das wirklich ein Maximum ist. Also bitte noch hinreichende Bedingung prüfen.

Comments

@Anonym:

Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Mantelfläche: Rechteck + 2 Kreisen (Grund und Deckfläche)

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Ist die Oberfläche rund oder ein Rechteck ??

LG

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Ich kann deinen Rechengang leider nicht folgen

 = ((

bei der Oberfläche der Vorgang könntest du diesen langsamer erklären ? LG

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@Anonym: Wo genau kannst du nicht folgen?

Skizze bei

https://www.mathelounge.de/17870/extremwertaufgabe-zylinder-in-kegel-einbeschreiben

erklärt: Nebenbedingung  x = h - h/r * y  (Strahlensatz).

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achso das heißt diese Skizze ist auch für mein Beispiel gültig ....

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ja aber die Oberfläche ist doch nur ein Kreis

ich weiß schon wie es in der Skizze gezeigt wird... das ist die Mantelfäche , habe es nicht gut erkannt

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ich kann nicht nachvollziehen wie du x berechnest

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Damit die Oberfläche extremal wird muss die Ableitung null werden.

O' = - 4·pi·h·y/r + 4·pi·y + 2·pi·h = 0

Das löst man nach y auf

y = h·r / (2·h - 2·r)

Jetzt kann ich den Term für y in den Term der nach x aufgelöst ist einsetzen. Das braucht man aber eigentlich nicht machen weil danach ja nicht gefragt wurde. Hatte das also eigentlich nur so der vollständigkeit halber gemacht gehabt.

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die Oberflächengleichung vor der ersten Ableitung kann ich nicht entziffern. woher kommen die -2pi am anfang????

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O = 2 * pi * y² + 2 * pi * y * (h - h/r * y)

Ich multipliziere erstmal nur aus. Dabei nehme ich die höchste Potenz von y gleich nach vorne.

O = - 2·pi·h·y^2/r + 2·pi·y^2 + 2·pi·h·y

Jetzt leite ich ab und dann gibt der erste Term ein Minus.

O' = - 4·pi·h·y/r + 4·pi·y + 2·pi·h = 0

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aber warum ist hier ein minus das versteh ich nicht

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ich versteh diese nebenbediengung nicht,  bei der anderen Skizze ist x = R/2 wozu brauchen wir das ??

bin am verzweifeln

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Mathecoach hat doch den Zwischenschritt beschrieben. Hier eine Zeile mehr:

O = 2 * pi * y² + 2 * pi * y * (h - h/r * y)

     Ich multipliziere erstmal nur aus.

   = 2*pi*y^2 + 2*pi*y*h - 2*pi*y^2 * h/r

     Dann nehme ich die höchste Potenz von y nach vorne.

O = - 2·pi·h·y²/r + 2·pi·y² + 2·pi·h·y

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Also du solltest dir Ableitungen nochmal ansehen wenn du die nicht verstehst.

Zur Nebenbedingung. Du kannst den halben Kegel von der Seite betrachten

Wir sehen eine Lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt h und der Steigung -h/r

Damit lautet die Nebenbedingung

y = h - h/r * x

Wenn du das nicht verstehst solltest du in Sachen lineare Funktionen auch noch mal nachlernen.

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ich meine diese x=h-h/r*y

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Hier ist doch nur x und y vertauscht weil ich das zu Anfang anders definiert hatte

x = Höhe des Zylinders
y = Radius des Zylinders

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muss man IMMER die höchste Potenz nach vorne bringen ?!

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okay gut und warum ist die Steigung -h ? und nicht +

werde dieses Kapitel nachlernen

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die Steigung ist -h / r. Wir haben ein riesiges Steigungsdreieck. Wenn ich r Einheiten nach rechts gehe muss ich h einheiten nach unten gehen. Damit ist die Steigung -h / r.

Weiterhin sieht man ja schon das die Gerade fällt und damit eine negative Steigung haben müsste.

Answer 2

Ergänzung zur Diskussion der Nebenbedingung:

Achtung: ein = zu viel:

(h-x)/y = h/r

h-x = y*h/r

h-y*h/r = x