Bogenlänge berechnen, korrekt?

Question

Bogenlänge von f(t)=(1/2)*cosh(2t)     ,   -R ≤ t ≤ R

 

Da gibt es ja die Formel: ∫√(1+f´(t)²) dt in den Grenzen -R; R 

 

Als Ableitung habe ich raus: f´(t)=sinh(2t) (mit Produktregel + innere mal äußere etc.)

 

Daraus folgt dann für die oben genannte Formel: 

 

 ∫√(1+sinh(2t)²) dt in den Grenzen -R; R =∫√(cosh(2t)²) dt = sinh(2t) in -R,R = sinh(2R) - sinh(-2R) 

 

Kann man das noch weiter zusammenfassen? 

Answer 1

Hi Kickflip,

 

vllt nochmal sauberer und unzerrissen aufgeschrieben:

 

Deine Umformungen scheinen alle korrekt zu sein. Du hast dabei die Beziehung

cosh(x)^2-sinh(x)^2 = 1

richtig verwendet.

 

Am Ende Deiner Rechnung berücksichtige noch die Punktsymmetrie des sinh(x):

 

sinh(2R) - sinh(-2R) = 2sinh(2R)

 

Damit hast Du also Deine soweit richtige Rechnung noch sauber zusammengefasst :):

 

Grüße

Answer 2

Ja.

Gemäß Additionstheorem:

sinh ( x ) - sinh ( y ) = 2 sinh ( ( x - y ) / 2 ) * cosh ( ( x + y ) / 2 )

gilt:

sinh ( 2 R ) - sinh ( - 2 R )

= 2 sinh ( ( 2 R + 2 R ) / 2 ) * cosh ( ( 2 R - 2 R ) / 2 )

= 2 sinh ( 4 R / 2 ) * cosh ( 0 )
= 2 sinh ( 2 R ) * 1

= 2 sinh ( 2 R )

Answer 3

Hallo Kickflip,

( soweit meine Kenntnisse reichen )

Hast du bei der Umformung versucht den trigonometrischen
Pythagoras
( sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
1 - (sinx)^2 = (cosx)^2
anzuwenden ?

√(1+sinh(2t)²)  => ∫√(cosh(2t)²)

Das dürfte wegen des + nicht anwendbar sein.
Außerdem weiß ich nicht ob die Formel überhaupt
auf sinh und cosh anwendbar ist.

mfg Georg

Comments

Schau(t) mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion#Zusammenh.C3.A4nge


;)

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Wäre damit geklärt. mfg Georg

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Gut, damit hätte ich das ja richtig angewendet, oder?

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Yup hättest Du.

Du musst am Ende die Sache nur noch beenden, indem Du daran denkst, dass der sinh(x) punktsymmetrisch ist, also sinh(-x) = -sinh(x)

Es ergibt sich aus Deiner letzten Zeile:

sinh(2R) - sinh(-2R) = 2sinh(2R)

 

Wenn Du bei JotEs mal spickelst -> das ist identisch.

 

Grüße