B1 und B2 erzeugendes System von V=span{P∈K[X] : deg P≤3}

Question

ich soll zeigen, dass B₁ und B₂ Basen von V sind. Die lineare Unabhängigkeit habe ich schon gezeigt, aber ich weiß leider nicht, wie man zeigt, dass die erzeugendes System sind. Kann mir da bitte jemand helfen?

K=ℤ/5ℤ

V=span{P∈K[X] : deg P≤3}

a) B₁={x³, (x³-3x²+3x-1), (x³-6x²+12x-8), (x³-9x²+27x-27)}

b) B₂={1,(1+x),(1+x+x²),(1+x+x²+x³)}

 

Danke

Answer 1

Ich denke bei B₂ ist EZS relativ einfach.

Zu zeigen wäre doch p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 lässt sich als lin.Komb. der Basisvektoren schreiben.

B₂={1,(1+x),(1+x+x²),(1+x+x²+x³)} = {b₁, b₂, b₃ , b₄}

p(x) =ab₁ + b(b₂ -b₁) + c(b₃ - b₂) + d(b₄ - b₃)

       =(a-b)b₁ + (b-c)b₂ + (c-d)b₃ + d*b₄               

Gegebenenfalls noch modulo rechnen, ändert aber nichts an der Darstellbarkeit als Linkomb.

 

Jedes Polynom 3. Grades lässt sich als Linkomb dieser 4 Basisvektoren schreiben. Die Dim. des Vektorraums ist somit 4.

Nun folgt auch a)

Denn, wenn du die Unabhängigkeit gezeigt hast, liegen 4 linear unabhängige Vektoren vorliegen, bilden diese automatisch eine Basis dieses 4-dim Vektorraums.