Laplace Transformation zu t^2 sin(a t)

Question

Ich habe große Probleme, die Laplace transformation von  $$t^2 sin(a t)$$ zu erzeugen.

Es sieht ja dann so aus:

$$\int_0^\infty t^2 sin(a t) e^{-st} dt$$

Klar, mit partieller Integration ( SEHR SEHR VIEL MÜHE (habe es versucht aber aufgegeben)) könnte man das lösen, aber das ist sicher nicht von unserem prof verlangt, deswegen frage ich, ob man das nicht mit der Differentiationsregel zb lösen kann (wenn ja wie?) oder durch faltung(das verstehe ich aber irgendwie nicht so ganz)

Lg :)

Answer 1

Als Nicht-Elektrotechniker und als jemand, der die Laplace-Transformation zum letzten mal im Vordiplom anzuwenden hatte (was einige Jahrzehntchen her ist) und daher nur noch rudimentäre Gedächtnisfetzen zu diesem Thema ausgraben konnte, würde ich die Aufgabe durch Nachschlagen in Tabellenwerken lösen.
Dabei ist der Wikipedia-Artikel zur Laplace-Transformation

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation

ausgesprochen hilfreich, weil die dortigen Tabellen zur Lösung der Aufgabe hinreichen.

Gemäß Korrespondenztabelle ergibt sich für die Funktion

f ( t ) = t ²

die Bildfunktion:

F ( s ) = 2 ! / s ³ = 2 / s ³

 

Gemäß der darüberstehenden Tabelle allgemeiner Eigenschaften bzw. Operationen führt die Multiplikation einer Funktion f ( t ) mit sin ( a t ) auf:

( 1 / ( 2 i ) ) * ( F ( s - i a ) - F ( s + i a ) )

wobei F ( x ) die Laplace-Transformierte von f ( t ) , vorliegend also 2 / s ³ ist .

 

Somit ergibt sich für die Funktion

f ( t ) = sin ( a t ) * t ²

die Laplace-Transformierte

F ( s ) = ( 1 / ( 2 i ) ) * (  2 / ( s - i a ) ³ - 2 / ( s + i a ) ³ )

= ( 1 / i ) ) * (  1 / ( s - i a ) ³ - 1 / ( s + i a ) ³ )

= - i * ( 1 / ( s - i a ) ³ - 1 / ( s + i a ) ³ )

= i / ( s + i a ) ³ - i / ( s - i a ) ³

= ( i ( s - i a ) ³ - i ( s + i a ) ³ ) / ( s ² + a ² ) ³

= ( 6 a s ² - 2 a ³ ) / ( s ² + a ² ) ³

 

EDIT:

Ich habe soeben herausgefunden, das WolframAlpha auch die Laplace-Transformation beherrscht und - juchhuu! - zu dem gleichen Ergebnis kommt (wobei allerdings
noch - 2 a  ausgeklammert wird):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform&a=*C.laplace+transform-_*Calculator.dflt-&f2=sin%28at%29+t^2&f=LaplaceTransformCalculator.transformfunction_sin%28at%29+t^2&f3=t&f=LaplaceTransformCalculator.variable1\u005ft&f4=s&f=LaplaceTransformCalculator.variable2\u005fs

Ich kann's also noch - brauch's aber wohl nicht mehr :-)