Exponentielle Wachstum und Abnahmeprozesse (Bakterien)

Question

Eine bestimmte Sorte von Bakterien vermehrte sich innerhalb von 5 Stunden von 500 Bakterien auf 1244.


a. Bestimme die stündliche Wachstumsrate (in %) und die Verdoppelungszeit


b. Für einen Test können sich 10000 Bakterien 2 Stunden lang ungehindert vermehren, dann werden sie kurzfristig geänderten atmosphärischen Bedingungen ausgesetzt, wobei 80% der Bakterienkultur zugrunde geht. Wie lang dauert es daraufhin , bis der ursprüngliche Bestand (10000 Bakterien) wiederhergestellt ist ?

Answer 1

a)

Gemäß Zinseszinsformel muss also gelten:

500 * ( 1 + p ) ^ 5 = 1244

<=> ( 1 + p ) ^ 5 = 1244 / 500

<=> 1 + p = ⁵√ ( 1244 / 500 )

<=> p = ⁵√ ( 1244 / 500 ) - 1

<=> p ≈ 1,2 - 1 = 0,2 = 20 %

Also: Die stündliche Wachstumsrate beträgt etwa (sogar "ziemlich" genau) 20 %.

 

b)

Nach 2 Stunden gibt es :

10000 * 1,2 ²

Bakterien. Davon gehen 80 % zugrunde, es existieren dann also nur noch

10000 * 1,2 ²  * 0,2

Bakterien. Diese vermehren sich und erreichen nach t Stunden wieder die Zahl 10000.
Es muss also gelten::

10000 = 10000 * 1,2 ² * 0,2 * 1,2 ^t

<=> 1 = 1,2 ² * 0,2 * 1,2 ^t

<=> 1 / ( 1,2 ² * 0,2 ) = 1,2 ^t

<=> log ( 1 / ( 1,2 ² * 0,2 ) ) = log ( 1,2 ^t ) = t * log ( 1,2 )

<=> t = log ( 1 / ( 1,2 ² * 0,2 ) ) / log ( 1,2 )

<=> t ≈ 6,83

Also: Etwa 6,83 Stunden nach dem einschneidenden Ereignis haben die Bakterien woieder ihre ursprüngliche Anzahl von 10000 Stück erreicht.