Hi,
Aufgabe 1)
$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1} $$ weil sich alle, bis auf den ersten und letzten Summanden, gegenseitig aufheben. Kann man nachrechnen durch Indexverschiebung.
Aufgabe 2)
Deine Behauptung stimmt so nicht, es muss heissen
$$ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$
Hier muss man vollständige Induktion anwenden.
IA: Für n=1 stimmt die Behauptung offensichtlich
IV: Es gilt $$ \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$
IB: Es muss gezeigt werden das gilt $$ \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} $$
$$ \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2}{4}(n^2+4n+4)=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} $$ und fertig.
