Funktion und Ableitungen
f(x) = x^3/(x^2 - 1)
f'(x) = (x^4 - 3·x^2)/(x^2 - 1)^2
f''(x) = (2·x^3 + 6·x)/(x^2 - 1)^3
Definitionsbereich
x^2 - 1 = 0
x = ±1
D = R \ {±1}
Symmetrie
Im Zähler steht eine Ungerade Funktion und im Nenner eine gerade Funktion. Damit haben wir eine ungerade Funktion die Punktsymmetrisch ist.
Verhalten für x → ∞ und für x → -∞
f(x) = x^3/(x^2 - 1) = x + x/(x^2 - 1)
y = x ist eine schräge Asymptote an die sich der Graph annähert.
lim (x → ∞) = ∞
lim (x → -∞) = -∞
Verhalten der Funktionswerte in der Nähe der Definitionslücken
lim (x → -1-) = -∞
lim (x → -1+) = ∞
lim (x → 1-) = -∞
lim (x → 1+) = ∞
Extrempunkte f'(t) = 0
x^4 - 3·x^2 = 0
x = 0 oder x = ± √3
f(0) = 0 --> Wendepunkt siehe nächster Teil
f(- √3) = - 3/2·√3 --> HP(-1.73 | -2.60)
f(√3) = 3/2·√3 --> TP(1.73 | 2.60)
Wendepunkte f''(t) = 0
2·x^3 + 6·x = 0
x = 0
f(0) = 0 --> Einziger Wendepunkt
Wertemenge
W = R
Zeichne den Graphen von f