Berechnung des Integrals ∫ (2t -1)^3 / (t(2t+1)) dt

Question

Berechnen Sie die folgende Integralfunktion:

$$\int \frac { ( 2 t - 1 ) ^  3 } { t ( 2 t + 1 ) } d t$$

∫ (2t -1)^3 / (t(2t+1)) dt

Comments

Vermutlich musst du dich noch eine Weile gedulden.

Vielleicht hilft dir ja diese 'Lösung' auf den Lösungsweg:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫+%282t+-1%29%5E3+%2F+%28t%282t%2B1%29%29+dt

Answer 1

f(x) = (2·t - 1)^3 / (t·(2·t + 1))

f(x) = (8·t^3 - 12·t^2 + 6·t - 1) / (t·(2·t + 1))

Weil der Zähler einen höheren Grad hat als der Nenner mache ich eine Polynomdivision

(8t^3  - 12t^2  +  6t  - 1) : (2t^2 + t)  =  4t - 8 Rest 14t - 1   
8t^3  +  4t^2             
——————
- 16t^2  +  6t  - 1       
- 16t^2  -  8t            
———————
14t  - 1

Mit dem Rest mache ich eine Partialbruchzerlegung

(14·t - 1) / (t·(2·t + 1)) = a/t + b/(2·t + 1) = (a·(2·t + 1) + b·t) / (t·(2·t + 1)) = ((2·a + b)·t + a) / (t·(2·t + 1))

2·a + b = 14
a = -1

Lösung a = -1; b = 16

(14·t - 1) / (t·(2·t + 1)) = -1/t + 16/(2·t + 1)

Damit lässt sich meine Funktion schreiben als

f(x) = 4t - 8 -1/t + 16/(2·t + 1)

Hier von bilde ich jetzt die Stammfunktion

F(x) = 2·t^2 - 8·t - ln(t) + 8·ln(2·t + 1)

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.