Betragsfunktionen ohne Beträge schreiben und Schnittstelle kontrollieren

Question

Hallo :)

Hier wieder die Aufgabe ;)

s(x)=/x-1/    und        t(x)=/x/

Wohlgemarkt seien / die Betragsstriche.

s(x)=x-1 für x>=0   und -x+1 für x<0

t(x)=x für x>=0       und -x für x<0

Alles kein Problem, doch bei b) habe ich ein Problem:

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von s und t an der Stelle x=1/2 schneiden.

Wir haben einen solchen Aufgabentyp nie behandelt, jedoch wird es verlangt ;)

Bei normalen Funktion würde ich ja gleichsetzen aber hier habe ich ja immer zwei Funktionen für s und t.

Mein Ansatz;

Ich habe mir gedacht, x=1/2 ist ja >=0. Deshalb würde ich von s und t nur die für >=0 definierte Funktion nehmen und dort x einsetzen.

Also:

x-1=x

Jedoch würde ich hier einen Widerspruch feststellen :/

Wie gesagt, wir haben solche Aufgabentypen nie gemeinsam behandelt, deswegen meine Frage zu einer doch simplen Aufgabe ;)

LG

Simon

Answer 1

Hi Simon,

für den Betrag nutze die Taste "Alt Gr + <" und es ergibt sich | ;).

 

a)

s(x)=x-1 für x>=0   und -x+1 für x<0

t(x)=x für x>=0       und -x für x<0

 

Nein, die erste Zeile ist falsch. Es muss x-1 > 0 sein, also x ≥ 1. Nur dann kann der Betragsstrich einfach weggelassen werden. Es kommt also auf den "Inhalt" des Betrags an und nicht auf x selbst ;).

 

Folglich haben wir:

|x-1|:

x-1   für x ≥ 1

-x+1 für x < 1

 

|x|:

x für x ≥ 0

-x für x < 0

 

b)

Aus obigen abgelesen was wir brauchen (Idee war also richtig):

-x+1 = x  |+x

2x = 1

x = 1/2

 

Das ist genau was wir erhofft hatten.

Schnittpunkt ist damit übrigens S(1/2|1/2).

 

Falls Du mir nicht glaubst noch ein Beweisfoto ;).

 

 

Grüße

Comments

Ich hatte den Definitionsbereich richtig gerechnet hier auf meinem Blatt, jedoch falsch hier eingegeben :D

Folglich hätte ich dann auch keinen Widerspruch festgestellt bei meinem Ansatz.

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Wie meinen? Definitionsbereich ist je ganz ℝ. Oder meintest Du die Intervalle unter Berücksichtigung der Beträge?


Wenns nun klar ist :).

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War wie gesagt ein Abschreibfehler ;)

Answer 2

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich an der Stelle x , wenn beide Funktionen dort denselben Funktionswert liefern.

Zeige also, dass für x = 1 / 2 gilt:  s ( 1 / 2  ) = t ( 1 / 2  )

Also:

s ( 1 / 2 ) = | 1 / 2 - 1 | = | - 1 / 2 | = 1 / 2

t ( 1 / 2 ) = | 1 / 2 | = 1 / 2

 

Gleichsetzen musst du dann, wenn du die Stelle x, an der sich zwei Funktionsgraphen schneiden, bestimmen sollst. Das ist hier ja nicht der Fall, denn die Stelle x = 1 / 2 wurde bereits vorgegeben und du sollst nur noch zeigen, dass sich die Funktionen dort tatsächlich schneiden.

Comments

Wäre obige Rechnung nun falsch oder auch korrekt?

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Dies hier ist falsch:

s(x)=x-1 für x>=0

Richtig ist:

s ( x ) = x -1 für x -1 > 0 , also für x > 1

denn es hängt ja von dem Argument x - 1 des Betrages an, ob man die Betragsstriche einfach weglassen kann oder ob man zusätzlich mit - 1 multiplizieren muss.

Da aber x = 1 / 2  kleiner als 1 ist, muss man bei Auflösung der Betragsstriche zusätzlich mit - 1 multiplizieren.

Für x = 1 / 2 gilt also:

s ( x ) = | x - 1 | = - x + 1

Setze hier x = 1 / 2 ein und du wirst sehen, dass sich eine wahre Aussage ergibt.

Answer 3

Hallo Simon,

hier meine Variante ( ohne Fallunterscheidung ). Siehe
meine Antwort auf deine andere Betrags-Frage.

s ( x ) =| x-1 |
t ( x ) = | x |

ist gleich

s ( x ) = √ [ ( x -1 )^2 ]
t ( x ) = √ x^2

s ( x ) = t ( x )
√ [ ( x -1 )^2 ] = √ x^2
( x -1 )^2 = x^2
x^2 - 2*x + 1 = x^2
2 * x = 1
x = 1/2

Die Antwort von JotEs ist natürlich kürzer. Falls der x-Wert
mal nicht vorgegeben ist wäre es eine allgemeine Lösungsvariante.

mfg Georg