Für welche x aus R gilt: |x+1| + |x-1| > 1

Question

Das ist die Aufgabe:

Finde alle x Element R für:  |x+1| + |x-1| > 1

Ich habe 3 Fälle unterschieden:

Fall 1: x<-1

-(x+1)-(x-1) > 1

-->  x > -1/2

Fall 2: -1<= x < 1

x+1-(x-1) >= 1

--> 2 >= 1 (ist immer wahr)

Fall 3: x >= 1

x+1+x-1 > 1

--> x >= 1/2

Was ist denn jetzt hier genau meine Lösungsmenge, also wie gebe ich sie an, wie finde ich sie überhaupt? Es müssen ja eigentlich alle x aus R gelten, weil ja alle für die Ungleichung passen :/

Comments

Die Ungleichung gilt tatsächlich für alle  x.

Answer 1

Im ersten Fall hast du einen Fehler gemacht, und zwar hier:

-(x+1)-(x-1) > 1

-->  x > -1/2

Tatsächlich gilt:

-(x+1)-(x-1) > 1

<=> - x - 1 - x + 1 > 1

<=> - 2 x > 1

<=> x < - 1/2

Denn bei der Division durch einen negativen Wert muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden!

 

Die Lösungsmenge für Fall 1 ( x < - 1 ) ist daher:

L₁ = { x | x < - 1 und x < - 1 / 2 } = { x | x < - 1 }

 

Die Lösungsmenge für Fall 2 ( - 1 ≤ x < 1 ) ist :

L₂ = { x | -1 ≤ x < 1 und 2 ≥ 1  } = { x | -1 ≤ x < 1 }

 

Die Lösungsmenge für Fall 3 ( x ≥ 1 ) ist :

L₃ = { x | x ≥ 1 und x ≥ 1 / 2  } = { x | x ≥ 1 }

 

Die Gesamtlösungsmenge ist nun die Vereinigung aller Teillösungsmengen, also:

L_g = L₁ ∪ L₂ ∪ L₃

={ x | x < - 1 } ∪ { x | -1 ≤ x < 1 }∪ { x | x ≥ 1 }

= { x | x ∈ R  }

Somit erfüllen alle reellen Zahlen die gegebene Ungleichung.

Hier ein Schaubild der Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=++|x%2B1|+%2B+|x-1|+%3E+1

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Klasse Antwort ! Hat mir sehr weitergeholfen, habe es jetzt endlich mal verstanden :)

Answer 2

Finde alle x Element R für:  |x+1| + |x-1| > 1

Ich habe 3 Fälle unterschieden:

Fall 1: x<-1

-(x+1)-(x-1) > 1

-->  x > -1/2           L1 = {} wegen Widerspruch deiner Aussagen. (stimmt aber nicht)

Fall 2: -1<= x < 1

x+1-(x-1) >= 1

--> 2 >= 1 (ist immer wahr)     
L2 = {x, -1 ≤ x < 1}      (stimmt)

Fall 3: x >= 1

x+1+x-1 > 1

--> x >= 1/2           
L3 = {x | x≥ 1}  (stimmt)

L = L1 u L2 u L3 = { x| x ≥ -1}     
Das zu deiner Frage: Die Teilmengen vereinigen für die Lösungsmenge.

Zu meiner Kritik: Vgl. hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7Cx%2B1%7C+%2B+%7Cx-1%7C+%3E+1+

Comments

Hoppla, beim ersten Fall hat sich ein fehler eingeschlichen, da sollte dann am Ende:

x < -1/2

stehen.

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Warum soll die Ungleichung nicht für  x < -1 gelten? Es gilt sogar |x + 1| + |x - 1| ≥ 2  für alle x.

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Hoppla, beim ersten Fall hat sich ein fehler eingeschlichen, da sollte dann am Ende:

x < -1/2

stehen.

Ok. Dann hast du L1 = { x| x  < -1}

und nun 

Total L = L1 u L2 u L3 = R