||x|-|y|| <= |x+y| Zeige dass die Aussage gilt

Question

Aufgabe

Zeigen Sie, dass für alle x,y Elemente von R die folgende Aussagen gelten.

1. ||x|-|y|| <= |x+y|

ich hatte überlegt eine Fallunterscheidung zu machen. Allerdings meinte mein Dozent, dass meine Fälle nicht zielführend sind.
meine Überlegungen waren
1. x>0 und y>0
1.1 y>x und 1.2 y<x

und dann dasselbe für x<0 und y<0

hat jemand eine Ahnung, wie ich es sonst machen könnte?

Answer 1

Versuche es mal mit x+y > 0   und x+y=0    und x+y<0.

Answer 2

Aloha :)

Es ist \(\,\pm a\le|a|\,\) und \(\,\pm b\le|b|\,\), daher gilt:$$a+b\le|a|+|b|\quad\text{und}\quad-(a+b)=(-a)+(-b)\le|a|+|b|$$Daher gilt für den Betrag von \((a+b)\):$$|a+b|\le |a|+|b|$$

Damit gilt nun aber auch:$$|a|=|(a\pink{-b})\pink{+b}|\le|a-b|+|b|\,\stackrel{-|b|}{\Longleftrightarrow}\;|a|-|b|\le|a-b|$$$$|b|=|(b\pink{-a})\pink{+a}|\le|b-a|+|a|\;\stackrel{-|a|}{\Longleftrightarrow}\;-(|a|-|b|)\le|a-b|$$

Zusammengefasst heißt das für \(\,(|a|-|b|)\,\):$$\left|\,|a|-|b|\,\right|\le|a-b|$$