Extremwertaufgabe Pythagoras

Question

Ich habe gerade begonnen mich mit ExtremwertAufgaben zu beschäftigen. Ich kenn mich noch nicht so gut aus. Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht ganz fertig kriege. Welches Rechteck vom U=16 hat die kleinste Diagonale. Also die Hauptbedingung ist ja mal a^2+b^2=d und die Nebenbedingung U=2a+2b Dann habe ich die NB umgewandelt, um a auszudrücken. Dieses a setze ich ha dann in die HB ein. Jetzt weiß ich nicht weiter. Das soll man ja sicher auch vereinfachen.Ich hab f(b)=16-2b+2b/2 Wobei ja der Nenner verschwindet. Wie soll ich weitermachen?

Answer 1

Welches Rechteck mit gegebenem Umfang U hat die kleinste Diagonale

 

Nebenbedingung

U = 2·a + 2·b
b = U/2 - a

Hauptbedingung

d^2 = a^2 + b^2
d^2 = a^2 + (U/2 - a)^2
d^2 = a^2 + (U/2 - a)^2
d^2' = 2·a - 2·(U/2 - a) = 0
a = U/4

Damit haben wir ein Quadrat.

Answer 2

Wenn Du die Nebenbedingung U=2a+2b bzw. 16 =2a+2b nach a auflöst, dann erhältst Du a=8-b.

Dies musst Du dann in die Hauptbedingung einsetzen.

Also

d²=f(b)=(8-2b)²+b²

Dies führt dann zu einer quadratischen Funktion, deren Maximum, du mit Hilfe der Scheitelgleichung oder durch Ableiten finden kannst.