Extremwertaufgabe Optimierungsaufgabe Analysis

Question

Ich schreibe in 2 Tagen eine Mathe Klausur über das Thema Extremwertaufgaben/ Optimierungsaufgaben. Könnte mir jemand das Thema so erklären, dass ich wenigstens einen Ansatz finde (für alle Aufgaben). Mein Problem ist es vor allem die Nebenbedingung zu finden und die Extrema.

Hier eine beispielsufgabe:

Wie groß ist das maximale Volumen einer zylindrischen Röhre bei der die Summe aus Durchmesser und Länge 1m beträgt.

Answer 1

bei der die Summe aus Durchmesser und Länge 1m beträgt.

Die Gleichung d+l=1 kannst du nach d oder nach l umstellen. Somit brauchst du in der Formel des von d und l abhängigen Volumens nicht mehr beide Variablen, sondern nur noch eine von beiden.

Answer 2

Die Hauptbedingung ist das, wonach gefragt wird.

Wie groß ist das maximale Volumen einer zylindrischen Röhre

Formel für das Volumen eines Zylinders

\(V=\pi\cdot r^2\cdot h\)

In der Nebenbedingung sind oft die Variablen aus der Hauptbedingung erwähnt, so dass man eine eliminieren kann.

bei der die Summe aus Durchmesser und Länge 1m beträgt.

\(h=1-2r\)

Setze 1 - 2r für h in die HB ein:

\(V=\pi\cdot r^2\cdot (1-2r)\\ V=\pi r^2-2\pi r^3\)

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach r auf:

\(V'=2\pi r-6\pi r^2\\ 2\pi r-6\pi r^2=0\\ r=\frac{1}{3}\Rightarrow h=\frac{1}{3}\)

Answer 3

1. Hauptbedingung

Formel für das hinschreiben, was extrem werden soll.

das maximale Volumen einer zylindrischen Röhre

Das Volumen eines Zylinders soll extrem werden. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet

(1)        \(V = \pi r^2h\).

Aus der Formel wird jetzt eine Funktion gebastelt. Dazu

2. Nebenbedingungen

Damit werden Variablen aus der rechten Seite von (1) eliminiert bis nur noch eine übrig bleibt.

bei der die Summe aus Durchmesser und Länge 1m beträgt.

Das heißt

(2)        \(d + h = 1\)

mit

(3)        \(d = 2 r\).

Gleichung (3) in (2) einsetzen ergibt

(4)        \(2r + h = 1\).

Gleichung (4) nach \(h\) auflösen ergibt

(5)        \(h = 1-2r\).

Einsetzen von (5) in (1) ergibt die

3. Zielfunktion

        \(V(r) = \pi r^2\cdot (1-2r)\).

4. Extremstellen

Man berechnet wie üblich die Extremstellen. In deiner Aufgabe ist man insbesondere an einem Hochpunkt interessiert. Achte darauf, dass nur die Extremstellen von Interesse sind, die im Definitionsberech liegen. In deinem Fall ergibt sich der Definitionsbereich aus

        \(r \geq 0\) und \(1-2r \geq 0\)

weil es sich bei \(r\) und \(h\) um Längen handelt.

Comments

Könntest du mir das mit den extremstellen nochmal genauer erklären. Also den definitionsbereich und die Randwertüberprüfung.

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Extremstellen werden so bestimmt, wie du das in der EF gelernt hast, also Nullstellen der Ableitung bestimmen und dann mit einem hinreichenden Kriterium prüfen ob dort ein Hochpunkt oder Tiefpunkt liegt.

Die Randwerte prüfst du, indem du sie in die Zielfunktion einsetzt und mit den Extremwerten vergleichst, die du über die Nullstellen der Ableitung bekommen hast.