Aufgabe:
b) Zu lösen ist die biquadratische Gleichung
\( x^{4}+2 x^{2}+4=0 \text {. } \)
Die Substitution \( u=x^{2} \) führt auf die quadratische Gleichung \( u^{2}+2 u+4=0 \) mit den beiden Lösungen
\( u_{1}=-1+i \sqrt{3} \text { und } u_{2}=-1-i \sqrt{3} \text {. } \)
Um nun die vier Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, muss ich hieraus noch die Quadratwurzeln ziehen, und das heißt zunächst, die trigonometrische Form bestimmen. Ich beginne mit \( u_{1}=-1+i \sqrt{3} \). Der Betrag dieser Zahl ist \( \sqrt{1+3}=2 \), der Winkel lautet
\( \varphi=\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+180^{\circ}=-60^{\circ}+180^{\circ}=120^{\circ} . \)
Damit erhält man als Wurzeln aus \( u_{1} \) und somit als Lösungen der biquadratischen Gleichung:
\( x_{11}=\sqrt{2} \cdot\left(\cos 60^{\circ}+i \sin 60^{\circ}\right)=0,7071+i \cdot 1,2247 \)
und
\( x_{12}=\sqrt{2} \cdot\left(\cos 240^{\circ}+i \sin 240^{\circ}\right)=-0,7071-i \cdot 1,2247 . \)
Bis zum Ausrechnen des Winkels und des Betrages ist mir alles klar. Aber wie kommt er bei x11auf √2 und cos 60 sowie bei x12auf √2 und cos240.
Ich hätte dort jetzt 2*(cos 120 + i*sin120) gerechnet
