Eine radiaktive Substanz zerfällt nach dem Gesetz: g(t)=g(0)e^{-0,0122t}

Question

Hallo alle zusammen, Aufgabe: Eine radiaktive Substanz zerfällt nach dem Gesetz: g(t)=g(0)e^{-0,0122t}. Dabeigibt g(t) die Masse des Präparates in Gramm zum Zeitpunkt t (t in Tagen) nach Beginn der Messung an. a) Welche Masse war zu Beginn der Messung (t=0) vorhanden, wenn nach 20 Tagen noch 24 g übrig sind? Geben Sie das Zerfallsgesetz an. b) Nach wie viel Tagen ist nur noch 1% der ursprünglicheb Masse vorhanden? c) Berechnen Sie die tägliche Zerfallsrate in Prozent und die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz. -bitte mit Erklärung

Answer 1

Hi,


a)

g(0) ist gesucht, g(20) bekannt:


g(20) = g(0)*e^{-0,0122*20} = 24   |e^{...}

g(0) = 30,6323


Zu Beginn betrug die Masse also etwas über 30 g.

b)

Gesucht ist 0,01*g(0)

e^{-0,0122t} = 0,01*30,6323   |ln

-0,0122*t = ln(0,306323)         |:(-0,0122)

t = 96,98


Also nach knapp 97 Tagen ist es soweit. Es ist nur noch 1% übrig.


c)

Tägliche Zerfallsrate ist: e^{-0,0122} = 0,9878

1-0,9878 = 0,0121 = 1,21 %


Halbwertszeit:

g(0)/2 = g(0)*e^{-0,0122t}    |:g(0), dann ln

ln(1/2) = -0,0122*t                 |:(-0,0122)

t = 56,82


Also nach nicht ganz 57 Tagen ist die Halbwertszeit erreicht.


Grüße

Comments

Wie sieht die Gleichung für g(0) aus?

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Wieso Gleichung? g(0) ist ein Wert. Der ist oben mit g(0) = 30,6323 angegeben bzw. ausgerechnet worden.

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Ich komm nicht auf die g(0) & würde gerne deine umgestellte Funktionen sehen das was du hier mit /e... gekürzt hast.

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g(0)*e^-0,0122*20 = 24

Das ist nichts weiter als nach g(0) aufgelöst. Die e-Funktion ist nur ein einzelner Wert. War damals nur zu faul den ganzen Exponenten erneut hinzuschreiben.

Versuchs ;).

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Ja deswegen ja. Bei mir sieht das aufgelöste so aus:

G(0)=ln(24)+0,0122*20=3,42205 das ist aber falsch & jetzt will ich wissen wo ich den Fehler beim umstellen gemacht hab. Danke für die schnelle Antwort.

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Du brauchst keinen Logarithmus. Die Unbekannte (nennen wir sie mal x) steht doch links voran:

x*e^-0,0122*20 = 24

Löse nach x auf. Beachte, dass e^-0,0122*20 nichts anderes ist als eine Zahl. Nämlich etwa 0,7835 ;).

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Danke hätte ich auch selbst drauf kommen können :D

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wieso 1 - 0,9878  bei der berechnung der zerfallsrate ? :/

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Bei der obigen Funktionwird angegeben was noch vorhanden ist (nach einer gewissen Zeit ). Das Zerfallene wird also über die Differenz aus Ursprung und vorhandenem errechnet.

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Die 1 ist also die übrige 1% aus der Aufgabe b) ? 

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Die 1 entspricht 100 %, also der Anfangsmenge ;).