Parabelförige Flugbahn eines Fußballs berechnen

Question

Ein Fußballspieler schießt einen Fußball der Größe 1 (Durchmesser 15,5cm)  in einer parabelförmigen Flugbahn über eine Mauer.

An der höchsten Stelle der Flugbahn überfliegt die Ballunterkante um 0,1 m über eine 26 m entfernte und 2,9 m hohe Mauer. (Der Ballmittelpunkt hat seine höchste Stelle mit 3,0775m  nach 26 m erreicht).
Wie hoch ist der Ballmittelpunkt nach 47,88m und nach 50,58 m Flug?

Answer 1

f ( x ) = a x ² + b x + c

Man betrachte den unteren Punkt des Balles. Für diesen gilt:

A)

f ( 0 ) = 0
<=> a * 0 ² + b * 0 + c  = 0
<=> c = 0

B)

f ( 26 ) = 3
<=> 26 ² a + 26 b + c = 3
<=> 26 ² a + 26 b + 0 = 3
<=> 26 ² a + 26 b = 3

Außerdem gilt ( höchste Stelle der Flugbahn):

C)

f ' ( 26 ) = 0
<=> 2 * 26 a + b = 0 
<=> b = - 52 a

Einsetzen in B):

26 ² a + 26 * ( - 52 a ) = 3
<=> - 676 a = 3
<=> a = - 3 / 676

Einsetzen in C):

b = - 52 * a = 156 / 676

= 0,2308

Also:

 f ( x ) = ( - 3 / 676 ) x ² + ( 156 / 676 ) x

 

Für die Höhe des Ballmittelpunktes gilt (Addition des halben Balldurchmessers ( 0,0775 m ) zur Höhe f ( x ) des unteren Ballpunktes):

Höhe ( x ) = f ( x ) + 0,0775

und somit:

Höhe ( 47,88 ) = f ( 47,88 ) + 0,0075 ≈ 0,953 m

Höhe ( 50,58 ) = f ( 50,58 ) + 0,0075 ≈ 0.396 m