Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des GauRschen Eliminationsverfahrens. Geben Sie an, ob die Lösung existiert, und wenn ja, ob sie einen Punkt, eine Gerade oder eine Ebene beschreibt.
(a)
\( \begin{aligned} 3 x_{1}-3 x_{2} &=1 \\ x_{1}-x_{2} &=-1 \end{aligned} \)
(b)
\( 3 x_{1}-3 x_{2}=1 \)
\( x_{1}-x_{2}=\frac{1}{3} \)
(c)
\( \begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}+x_{3} &=-2 \\ 3 x_{1}+x_{2}-x_{3} &=-1 \\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3} &=3 \end{aligned} \)
(d)
\( \begin{array}{rr}x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4} & =0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-4 x_{3} & =-5 \\ -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4} & =-10 \\ -2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =10\end{array} \)
Diesmal sind Aufgaben über Lineare Gleichungssysteme gegeben, die mithilfe dem Gaußschen Eliminationsverfahren gelöst werden sollen. Bislang war das Einsetzungsverfahren mein Favorit. Ich höre das Gaußsche Eliminationsverfahren zum ersten Mal, wie funktioniert es? Wie das Kreuzprodukt von Vektoren (ferner Vergleich).
Festlegung:
x1=x
x2=y
x3=z
x4=Ω
zu a)
3x-3y=1
x-y=-1 |*3
3x-3y=1
3x-3y=-3 (nicht gleich), d.h. entweder keine Lösung oder unendlich viele
→ wahrscheinlich ein oder mehrere Punkt(e)
zu b)
3x-3y=1
x-y=1/3 |*3
3x-3y=1
3x-3y=1 (gleich), d.h. entweder eine Lösung
→ wahrscheinlich ein Punkt oder eine Gerade
zu c)
x-2y+z=-2
3x+y-z=-1
2x-3y+2z=3
→Vermutung: Vektor, d.h. beschreibt vermutlich eine Ebene
zu d)
x-y+z+Ω=0
2x+y-4z=-5
-x+4y+2z-2Ω=-10
-2x+y+z+Ω=10
→Vermutung: Gerade
