Newtonverfahren für einfache und mehrfache Nullstellen

Question

Hi,
kann mir bitte jemand unten genannte Punkte erklären?

- Newtonverfahren für einfache und mehrfache Nullstellen

- Konvergenzaussagen, Konvergenzordnung


danke

Answer 1

Hi,

das Newton Verfahren ist gut erklärt hier https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Das Konvergenzverhalten hängt vom Startwert ab, d.h. es kann muss aber nicht konvergieren, wenn man den Startwert falsch wählt. Insofern lohnt es sich auf eine andere Art einen Überblick über die Lage der Nullstellen zu verschaffen. Die Konvergenzordnung ist lokal quadratisch. Grundsätzlich findest Du mit dem Newtonverfahren nur eine und nicht mehrere Nullstellen.

Aber so allgemein wie Du die Frage gestellt hast, müsste ich eine Vorlesung über numerische Mathematik I aufschreiben. Vielleicht hast Du ja ein konkretes Beispiel, an dem wir die Methode mal ausprobieren können.

Comments

Hi,

vielen Dank für das Link. Hab´ dies schon gelesen. Aber ein konkreten Gleichung zu lösen, fällt mir immer noch schwer.

z.B man muss die Nullstelle von f(x) = x³ - 5x + 1 bestimmen.

f'(x) = 3x² - 5

x_k+1 = x_k -  ((x_k ³     - 5x +1) / (3x² -5) )

x₀ = ??? wie kann ich das ausrechnen?

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Hi,

Für $$ f(x)=3x^2-5 $$ lautet die erste Ableitung $$ f'(x)=6x $$ Damit sieht das Newtonverfahren wie folgt aus $$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$ also $$  x_{n+1}=x_n-\frac{3x_n^2-5}{6x_n}$$ Den Startwert kann man nicht berechnen sondern muss man vorgeben. Er sollte aber, wenn man das abschätzten kann in der Nähe einer Nullstelle liegen. 0 als Startwert darfst Du nicht nehmen, da ja sonst am Anfang eine Division durch 0 vorkommen würde. Ich habe begonnen mit x₀=1 und das Ergebnis ist nach 3 Schritten schon konvergiert gegen 1.292 mit einem Fehler im Bereich 10^-3