Differenzierbarkeit an einer bestimmten Stelle

Question

Folgende Funktion \( f(x) = \sqrt[3]{|x|}=\{\sqrt[3]{x} \) für \( x \geq 0 \) oder \( \sqrt[3]{-x} \) für \( x<0 \)

ich soll nun mit Hilfe des Differenzenquotienten untersuchen, ob f an der Stell x=0 differenzierbar ist.

Die rechtsseitige Ableitung hab ich berechnet: \( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} f(x)=+\infty \)

Laut Lösung ist die linksteitige Ableitung dann entprechend -∞.

Wie kann ich dieses Minus da in meinen Rechenweg einbauen.

Die rechtsseitige Ableitung gibt mir die Steigung der Tangente an f bei der Stelle x=0. Heißt dann hier: Die Steigung wird unendlich. Wenn ich dann diese Überlegung für die linksseitige Ableitung verwende, muss dann die Steigung -unendlich werden.

Das ganze hätte ich jetzt aber ohne Skizze der Funktion nich erkannt. wie kann ich mir dieses Minus erklären:

Ich rechne so:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0-}(-x)^{-\frac{2}{3}} \)

Wie komm ich da jetzt auf - unendlich. wenn ich x- werte kleiner 0 einsetze.

Answer 1

$$\lim_{x \rightarrow 0-} \frac{ (-x)^{ \frac{1}{3} } }{ x }= \lim_{x \rightarrow 0-} \frac{ (-1)^{ \frac{1}{3} } x^{ \frac{1}{3} }}{ x } = \lim_{x \rightarrow 0-} - \frac{ x^{ \frac{1}{3} } }{ x } = \lim_{x \rightarrow 0-} -\frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } = -\infty$$

Also f' existiert an der Stelle x = 0 auch nicht, somit ist die Funktion im Punkt x = 0 nicht differenzierbar.