Differenzierbarkeit mit Grenzwertberechnung

Question

Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle x durch eine Grenzwertberechnung mit der

x → x0-Methode.

b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d. h. für h → 0.

c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierbar ist, indem Sie den links- und den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x0 = – 1 berechnen und diese vergleichen.

Funktionen:

f(x) = \( x^{3} \) - \( x^{2} \)  mit x ∈ ℝ

g(x) = \( x^{2} \) + 4x    mit x ∈ ℝ

h(x) = { -\( x^{2} \) - 4x - 2    für x < -1, x ∈ ℝ

          {0,5x + 1,5       für x ≥ -1, x ∈ ℝ

Wie gebe ich diese Funktionen in die lim Funktion ein bei a und b?

Und wie löse ich Aufgabe c)?

Comments

\( \lim\limits_{x\to x_0} \) \( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) 

= \( \lim\limits_{x\to x_0} \) \( \frac{x^{3}-x^{2}-(x_0^{3}-x_0^{2})}{x-x_0} \)

=  \( \lim\limits_{x\to x_0} \) (\( \frac{x^3-x_0^3}{x-x_0} \)-\( \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} \))

Jetzt kannst du nutzen, dass a^3-b^3= (a-b) * (a^2+ab+b^2) ist und a^2-b^2= (a+b)*(a-b)

=  \( \lim\limits_{x\to x_0} \) (\( \frac{(x-x_0)*(x^2+x*x_0+x_0^2)}{x-x_0} \)-

\( \frac{(x-x_0)*(x+x_0)}{x-x_0} \))

Jetzt kannst du kürzen und den Grenzwert berechnen, einfach für x das x_0 einsetzen und kommst auf das selbe Ergebnis wie mit den dir bekannten Anleitungsregeln.

b wurde schon gelöst.

Bei c musst du dir nur angucken, was in diesem Punkt passiert. Wenn du von links an den Punkt läufst, ist der Funktionswert im Grenzwert - (-1)^2-4*(-1)-2. Wenn du dich von rechts auf den Punkt zu bewegst, erhältst du 0,5*(-1)+1,5. Sind die Funktionswert in diesem Punkt gleich?

Answer 1

Hallo

 du Bildes bei a )( (x0^3-x^3+x0^2-x^2)/(x_0-x) die beiden Ausdrücke lassen sich durch (x0-x) kürzen, der hintere das Binom, der vordere wenn du es nicht kennst Polynomdivision  Ergebnis : x0^2+xx0+x^2

sann hast du  x0^2+xx0+x^2+x0+x und jetzt den lim x->x0 kannst du sicher.

bei b statt x x_0-h einsetzen dann ist das Vorgehen entsprechend. mach mal und sage genau, wo du nicht weiter kommst

du solltest hier h kürzen können,

bei c dann eben beide Funktionen bei x0=-1 auf dieselbe Methode

Gruß lul

Comments

bei c ... auf dieselbe Methode

bei c)  sollen wohl eher die verschiedenen einseitigen GW von h  für x→ -1 bestimmt werden.

daraus  →  h nicht stetig in x₀ = -1  →  h nicht  diff'bar  in x₀ = -1

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Würdest du dich ein wenig mehr von der Aufgabe und weniger durch deine Interpretation des Aufgabenstellers inspirieren lassen, dann könntest du solche Fehler vermeiden.

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Bei a) braucht man die x0 methode bei b) die h-methode, jedoch weiß ich nicht genau wie ich das alles einsetzen soll.

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Hallo

 bei a) habe ich dir das doch vorgemacht, bei b)  der große Löwe

 jetzt dieselbe Methode bei c für die beiden Teilfunktionen, einmal mit +h einmal mit -h gegen 0

lul

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jetzt dieselbe Methode bei c für die beiden Teilfunktionen, einmal mit +h einmal mit -h gegen 0

bei c) macht doch die h-Methode wenig Sinn. Simples Einsetzen von x = -1  bei den Funktionstermen der Teilfunktionen genügt.

vgl. oben meinen Kommentar.

Answer 2

Hallo,

Aufgabe b)

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