Grenzwertberechnung einer differenzierbaren Funktion

Question

:)

Ich habe folgende Aufgabe:

$$Es\quad sei\quad f:ℝ→ℝ\quad eine\quad differenzierbare\quad Funktion\quad im\quad Intervall\quad [0,∞)\quad ,\quad sodass\quad \\ \\ \lim _{ x\quad \rightarrow \infty  }{ f'(x)\quad =\quad A } \quad \quad \quad .\quad Bestimmen\quad Sie\quad den\quad Grenzwert\quad \lim _{ x\quad \rightarrow \infty  }{ \quad \quad \quad \frac { f(2x)\quad -\quad f(x) }{ x }  } .\\ Nutzen\quad Sie\quad hierbei\quad den\quad Mittelwertsatz.\\ \\ Dieser\quad lautet:\quad \\ \\ \frac { f(b)\quad -\quad f(a) }{ b-a } \quad =\quad f'(\vartheta )\quad und\quad \vartheta \quad \in \quad (a,b)\quad ,\quad also\quad zwischen\quad a\quad und\quad b.\\ $$

Wenn ich den Mittelwertsatz verwende, hätte ich b=2x und a=x gewählt. Aber ich weiß nicht, wie ich danach weiter kürzen kann...

Ich bin auch etwas durcheinander, da ich das Intervall als meinen Definitionsbereich verstehe, den ich differenzieren kann - oder meint mein Dozent doch den Wertebereich von f(x) damit?

Ich bin für jedem Tipp dankbar!!

Liebe Grüße!

Comments

Ich hab das mal etwas editiert, damit es besser lesen kann.

:)

Ich habe folgende Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) eine differenzierbare Funktion im Intervall \( [0,\infty) \) sodass \( \lim _{ x\to\infty} f'(x) = A \) gilt.

Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim _{ x\to\infty}\frac { f(2x)- f(x) }{ x } \)

Nutzen Sie hierbei den Mittelwertsatz. Dieser lautet:

\( \frac { f(b)-f(a)}{ b-a } =f'(\vartheta ) \) und \( \vartheta \in (a,b)\) also \( \vartheta \) zwischen \( a \) und \( b\)

Wenn ich den Mittelwertsatz verwende, hätte ich \( b=2x \)  und \( a=x\) gewählt. Aber ich weiß nicht, wie ich danach weiter kürzen kann...

Ich bin auch etwas durcheinander, da ich das Intervall als meinen Definitionsbereich verstehe, den ich differenzieren kann - oder meint mein Dozent doch den Wertebereich von \( f(x) \) damit?

Ich bin für jedem Tipp dankbar!!


Liebe Grüße!