Aloha :)
Der Differenzenquotient über einem Intervall von \(x_0\) bis \(x\) gibt an, wie stark sich eine Funktion \(f\) im Durchschnitt auf diesem Intervall ändert. Er ist der Quotienten aus der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Funktionsargumente:$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Will man nun wissen, wie stark sich die Funktion in einem bestimmten Punkt \(x_0\) ändert, kann man das Intervall von \(x_0\) bis \(x\) immer weiter verkleinern, indem man den Wert von \(x\) dem Wert von \(x_0\) immer weiter annähert \((x\to x_0)\). Aus dem Differenzenquotient wird daburch der Differentialquotient. Wenn dieser Grenzwert exisitiert, ist dies die Ableitung der Funktion im Punkt \(x_0\):$$f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Langer Rede kurzer Sinn: Die Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.
