ist diese Abbildung isomorph?

Question

Aufgabe: ist diese Abbildung isomorph?

g : P2(R) → R gegeben durch g(p) := p0 − p1 wobei p(x) := p0 + p1x + p2x
2 ∈ P2(R)

Problem/Ansatz:

homogen ist sie nicht oder, ein Kumpel von mir sagt sie sei homogen ich hab es ausgerechnet und das stimmt nicht aber das ergibt für mich keinen Sinn

a= lambda

p(a*x)= a*p(x)

p0+ a*(p1x+p2x^2)=a*p0+ a*(p1x+p2x^2)

p0=a*p0

Das ist nicht homogen oder ???

Answer 1

Es geht doch um die Abbildung g. Damit die homogen ist,

muss gelten g(a*p) = a*g(p) .

Wenn nun p∈P2(ℝ) gegeben ist als das Polynom

mit p(x)= p0 + p1x + p2x² . Dann ist ap das Polynom mit

ap(x)= a*p0 + a*p1x + a*p2x2 .

Und es ist g(ap) = ap0 - ap1 = a( p0-p1) = a*g(p)

g ist also homogen.

Comments

Wieso rechnen sie mit g und nicjt p

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g : P2(R) → R gegeben durch....

Es geht also um die Abbildung g.

Die Polynome sind die Objekte, auf die die

Abbildung angewandt wird.

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Asooooo das ergibt total Sinn. Vielen lieben Dank. Mein Kopf explodiert gleich, sitze seit 2 Stunden an diesem Fehler

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Isomorph is ja Trz nicjt, aber wie zeig ich das

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g ist nicht injektiv, weil z.B.

g( 1+x-x^2) = 0 und g( 1+x-2x^2) = 0

Answer 2

Wegen \(\dim(P_2(\mathbb{R}))=3\neq 1=\dim(\mathbb{R})\) können
die beiden Räume nicht isomorph sein.

Comments

Wie haben sie das so schnell gelöst ??

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Zwei endlich-dimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph,
wenn sie die gleiche Dimension haben, also wenn
ihre Basen gleichviele Elemente besitzen.

\(P_2(\mathbb{R})\) hat die Basis \(\{1,\;x,\;x^2\}\).

\(\mathbb{R}\) hat die Basis \(\{1\}\)