Zeigen Sie, dass V / U isomorph ist zum dem Vektorraum W ist

Question

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( M \) eine Menge, \( N \subseteq M \) eine Teilmenge und \( K \) ein Körper. Betrachten Sie den Vektorraum \( V=\operatorname{Abb}(M, K) \) der Abbildungen \( M \rightarrow K \). Sei
$$ U:=\{f \in \operatorname{Abb}(M, K) \mid f(n)=0 \forall n \in N\} \subseteq V $$
der Unterraum der Abbildungen \( M \rightarrow K \), die auf \( N \) verschwinden. Zeigen Sie, dass \( V / U \) isomorph ist zum dem Vektorraum \( W=\operatorname{Abb}(N, K) \).

Bitte um hilfe

Comments

Homomorphiesatz?

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"Ist f: A->B ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f dann ist der Quotient A/ker(f) isomorph zum Bild f(A)" -Wikipedia

Ich steh aufm Schlauch wie kann ich damit es lösen?

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Ganz einfach: Suche eine lineare Abbildug

$$ \varphi: \operatorname{Abb}(M,K) \to \operatorname{Abb}(N,K) $$

d.h. \( \varphi(\lambda f +g ) = \lambda \varphi(f) + \varphi(g) \) die zusätzlich noch

1. surjektiv ist

und

2. \( \ker(\varphi) = U \) erfüllt

Klingt jetzt vielleicht erst einmal etwas umständlich ist aber gar nicht so schwierig. Was wäre denn eine naheliegende Abbildungsvorschrift für

$$ \varphi: \operatorname{Abb}(M,K) \to \operatorname{Abb}(N,K) $$

? Die Abbildung muss einer Abbildung \( f : M \to K \) eine Abbildung \( \varphi(f) : N \to K \) zuordnen. Es ist \( N \subseteq M \).

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Vielen Dank !