Zu b):
Man definiere \(F:\; L(V_1,W)\times\cdots\times L(V_n,W)\rightarrow L(V_1\times\cdots\times V_n,W)\)
durch \(F((f_1,\cdots,f_n))(v_1,\cdots,v_n)=f_1(v_1)+\cdots+f_n(v_n)\).
Dass \(F\) linear ist, zeige ich hier am Beispiel der Additivität:
\(F((f_1,\cdots,f_n)+(g_1,\cdots,g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)
\(F((f_1+g_1,\cdots,f_n+g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)
\((f_1+g_1)(v_1)+\cdots+(f_n+g_n)(v_n)=\)
\(f_1(v_1)+g_1(v_1)+\cdots+f_n(v_n)+g_n(v_n)=\)
\(F((f_1,\cdots,f_n))(v_1,\cdots,v_n)+F((g_1,\cdots,g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)
\((F((f_1,\cdots,f_n)+F((g_1,\cdots,g_n)))(v_1,\cdots,v_n)\).
Dies gilt für alle \((v_1,\cdots,v_n)\in V_1\times\cdots\times V_n\).
Also haben wir:
\(F((f_1,\cdots,f_n)+(g_1,\cdots,g_n))=F((f_1,\cdots,f_n))+F((g_1,\cdots,g_n))\).
Entsprechend zeigt man die Homogenität.
Nun zeigt man, dass \(F\) injektiv ist, indem man nachweist:
\((f_1,\cdots,f_n)\in ker(F)\Rightarrow f_1=\cdots=f_n=0\)
Wegen der angegebenen Dimensionsformel kann man auf
\(\dim(L(V_1\times\cdots\times V_n,W)=\dim((L(V_1,W)\times\cdots\times L(V_n,W))\)
schließen und aus der injektivität von \(F\) folgt die Bijektivität.