Zeigen Sie, dass f linear ist genau dann, wenn G (f) ein Unterraum von V x W ist.

Question

Aufgabe:

(a) Seinen V und W jeweils F-Vektorräume. Für eine Funktion f: V → W heißt die Menge

G (f) = {(v, f(v)): v ∈ V}

Graph von f. Zeigen Sie, dass f linear ist genau dann, wenn G (f) ein Unterraum von V x W ist.

(Hinweis: Man könnte auch formulieren: Zeigen Sie, dass eine Funktion f: V →W genau dann linear ist, wenn sie ein Unterraum von V x W ist.)

(b) Seien V₁,...,V_n endlich dimensionale Vektorräume über F. Zeigen Sie, dass

L(V₁ x ... x V_n, W)

und

L(V₁,W) x ... x L(V_n, W)

isomorph sind.

(HInweis: Sie dürfen annehmen, dass

dim(L(V,W)) = dim(V) • dim(W)

für endliche F-Vektorräume V, W gilt.)

Problem/Ansatz:

ich komme bei den beiden Mathe Aufgaben nicht weiter. Kann mir wer Tipps oder Ansätze geben. Das wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Zu b):

Man definiere \(F:\; L(V_1,W)\times\cdots\times L(V_n,W)\rightarrow L(V_1\times\cdots\times V_n,W)\)

durch \(F((f_1,\cdots,f_n))(v_1,\cdots,v_n)=f_1(v_1)+\cdots+f_n(v_n)\).

Dass \(F\) linear ist, zeige ich hier am Beispiel der Additivität:

\(F((f_1,\cdots,f_n)+(g_1,\cdots,g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)

\(F((f_1+g_1,\cdots,f_n+g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)

\((f_1+g_1)(v_1)+\cdots+(f_n+g_n)(v_n)=\)

\(f_1(v_1)+g_1(v_1)+\cdots+f_n(v_n)+g_n(v_n)=\)

\(F((f_1,\cdots,f_n))(v_1,\cdots,v_n)+F((g_1,\cdots,g_n))(v_1,\cdots,v_n)=\)

\((F((f_1,\cdots,f_n)+F((g_1,\cdots,g_n)))(v_1,\cdots,v_n)\).

Dies gilt für alle \((v_1,\cdots,v_n)\in V_1\times\cdots\times V_n\).

Also haben wir:

\(F((f_1,\cdots,f_n)+(g_1,\cdots,g_n))=F((f_1,\cdots,f_n))+F((g_1,\cdots,g_n))\).

Entsprechend zeigt man die Homogenität.

Nun zeigt man, dass \(F\) injektiv ist, indem man nachweist:

\((f_1,\cdots,f_n)\in ker(F)\Rightarrow f_1=\cdots=f_n=0\)

Wegen der angegebenen Dimensionsformel kann man auf

\(\dim(L(V_1\times\cdots\times V_n,W)=\dim((L(V_1,W)\times\cdots\times L(V_n,W))\)

schließen und aus der injektivität von \(F\) folgt die Bijektivität.

Answer 2

f linear ==>   G (f) ist ein Unterraum von V x W .

1. f linear ==>  f(0)=0 also (0;0) ∈ G(f)

2. Seien (a,f(a) ) und (b,f(b))  ∈ G(f) .

      f linear ==>  f(a+b) = f(a) + f(b) , also ( a+b, f(a)+f(b) )  ∈ G(f) .

also (a,f(a) ) +(b,f(b))  ∈ G(f) ; denn nach Def. von + in V x W

      gilt   (a,f(a) ) +(b,f(b)) =  ( a+b, f(a)+f(b) )

3. Sei k∈F und (a,f(a) ) ∈ G(f) .

      f linear ==> f(k*a) = k*f(a) , also ( k*a, k*f(a))  ∈ G(f) .

und k* (a,f(a) ) =  ( k*a, k*f(a)) , also k* (a,f(a) )∈ G(f) .

1 bis 3 zeigen: G(f)  ist ein Unterraum von V x W .

f linear <==  G (f) ist ein Unterraum von V x W .

geht entsprechend.