Ungleichung skizzieren komplex

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die Menge aller \( v \in \mathbb{C} \) mit \( \operatorname{Re} v \geqq \frac{\sqrt{3}}{2}|v| \)

Problem/Ansatz:

zuerst habe ich die Ungleichung umschrieben.

v=a+bi

Re(v)=a

|v|=r=√(a^2+b^2)

also  a≥\( \frac{√3*√(a^2+b^2}{2} \)

Jetzt habe ich im Buch diese Bemerkung gesehen :

√(a^2+b^2)=1

Dadurch habe ich natürlich folgendes raus: a≥\( \frac{√3}{2} \) bzw. x≥\( \frac{√3}{2} \)

Davor habe ich versucht die Ungleichung einfach umzuformen. Dabei habe ich jetzt was anderes raus.

a≥\( \frac{√3*√(a^2+b^2}{2} \) 

a≥\( \frac{√(3*(a^2+b^2))}{2} \) 

a≥\( \frac{√(3a^2+3b^2)}{2} \)   /*2

2a≥√(3a^2+3b^2)                    /^2

4*a^2≥ 3(a^2+b^2)                /:3

\( \frac{4a^2}{3} \)≥a^2+b^2     /:a^2

\( \frac{4}{3} \) ≥\( \frac{a^2+b^2}{a^2} \)

= \( \frac{4}{3} \) ≥1+\( \frac{b^2}{a^2} \)   /-1

\( \frac{4}{3} \) -\( \frac{3}{3} \) ≥\( \frac{b^2}{a^2} \)

\( \frac{1}{3} \) ≥\( \frac{b^2}{a^2} \)   /*a^2

\( \frac{a^2}{3} \) ≥b^2   /√

→\( \frac{a}{√3} \) ≥b bzw.  y≤\( \frac{x}{√3} \)

Welche Lösung ist richtig?

Und warum kommt beim Umformen was anderes heraus? (vorausgesetzt das wurde korrekt gemacht)

Comments

mein Ergebnis. Danke für die Unterstützung:)

Answer 1

Bei der 2. Lösung bist du zwischendrin auf

\(4\cdot a^2\geq 3(a^2+b^2) \) gekommen, also

\(a^2\geq 3b^2\iff (\frac{a}{b})^2\geq 3\iff |a|\geq \sqrt{3}|b|\)

Comments

danke. Ich denk, ich habs verstanden.

Jetzt kann ich es auch begründen. Wird vermutlich auch verlangt gewesen werden sein.

Zugegeben; ich hätte es von selbst nicht gesehen...

Noch eine kurze Frage:

da a und b positiv sind, muss ich das dann nochmal extra vermerken mit a,b€R⁺₀?

Sonst heißt es ja immer a+bi mit a,b€R. Also gesamte R, aber das wäre in diesem Fall ja falsch, oder? In dieser Aufgabe steht bisher nur v€C

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Warum sollen a und b positiv sein?

Du musst eine Fallunterscheidung machen,

je nachdem, ob a>=0 oder  a<=0 und ob b>=0 oder b<=0 ist,

d.h. du bekommst in jedem Quadranten eine Lösungsmenge.

Die Vereinigung dieser Mengen ist die Gesamtlösungsmenge.

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oh, danke für die Klarstellung!

ich merke schon, das Thema ist etwas eingerostet bei mir.

Der Betrag steht dafür, dass die Zahl ± sein kann.

ok, das mit der Fallunterscheidung leuchtet mir so ein.

Mein bisheriges Ergebnis ist dann der +, + Fall, wenn ich es richtig verstanden habe.

Vorher wurde doch schon ausgeschlossen, dass a negativ sein kann (mathef)

Kann ich dann diesen Fall also |a|, weglassen und nur mit a rechnen und halt |b|?

Wie viele Fälle gibt es denn? mit a, |b| wären es dann nur 2?

Kann es auch sein, dass einige Quadranten die leere Menge sozusagen als Lösung

haben, weil auf der Skizze ist alles im 4.Quadrant gezeichnet.?

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"Kann es auch sein, dass einige Quadranten die leere Menge sozusagen als Lösung

haben, weil auf der Skizze ist alles im 4.Quadrant gezeichnet. ?"

Bitte ignorieren. Das sollte da nicht rein;)

Answer 2

√(a^2+b^2)=1 gilt nicht für alle v∈ℂ, sondern nur für die mit dem Betrag 1,

Deshalb ist die 2. Lösung richtig.

Comments

danke, dann habe ich es wohl nicht im Gesamtkontext gesehen im Buch.

Bei dem Umformen, kommt bei einem √-ziehen nicht immer ±die Zahl raus?

Also müsst es nicht so heißen:

\( \frac{a^2}{3} \)≥b^2   /√

 \( \frac{±a}{√3} \)≥ ±b  /√ 

Da  bin ich grad verwirrt.

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Aus a≥\( \frac{√3*√(a^2+b^2}{2} \)  folgt aber, dass a nicht negativ sein kann.

Rechts steht etwas, dass ≥0 ist.

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ah ja stimmt.

und wie sieht es mit dem b aus? muss ich da nicht vollständigkeitshalber trotzdem ein ± davor schreiben?

Ich würde 2 gespiegelte Geraden an der y-Achse bekommen und dann alles was darunter ist. Die Schnittmenge ist ein Dreieck spitz zulaufend zum Ursprung hin, mit der Spitze nach oben gerichtet.

Das war halt immer ein typischer Fehler von mir nach dem √-ziehen, weswegen ich immer einen Punkt Abzug bekommen haben. Deswegen bin ich mir unsicher, wie ich damit hier jetzt umgehen soll.